Επίλυση 3/x+3/x-5=3x-12/x-5

$$\frac { 3 } { x } + \frac { 3 } { x - 5 } = \frac { 3 x - 12 } { x - 5 }$$

Λύση ως προς x

$$x=1$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με οποιαδήποτε από τις τιμές 0,5 επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το x\left(x-5\right), δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των x,x-5.

$$\left(x-5\right)\times 3+x\times 3=x\left(3x-12\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x-5 με το 3.

$$3x-15+x\times 3=x\left(3x-12\right)$$

Συνδυάστε το 3x και το x\times 3 για να λάβετε 6x.

$$6x-15=x\left(3x-12\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x με το 3x-12.

$$6x-15=3x^{2}-12x$$

Αφαιρέστε 3x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$6x-15-3x^{2}=-12x$$

Προσθήκη 12x και στις δύο πλευρές.

$$6x-15-3x^{2}+12x=0$$

Συνδυάστε το 6x και το 12x για να λάβετε 18x.

$$18x-15-3x^{2}=0$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 3.

$$6x-5-x^{2}=0$$

Αναδιατάξτε το πολυώνυμο για να το θέσετε σε τυπική μορφή. Τοποθετήστε τους όρους με τη σειρά, από τη μεγαλύτερη προς τη μικρότερη δύναμη.

$$-x^{2}+6x-5=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως -x^{2}+ax+bx-5. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα που θα επιλυθεί.

$$a+b=6 ab=-\left(-5\right)=5$$

Δεδομένου ότι η ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Δεδομένου ότι το a+b είναι θετικό, a και b είναι και τα δύο θετικά. Το μόνο τέτοιο ζεύγος είναι η λύση του συστήματος.

$$a=5 b=1$$

Γράψτε πάλι το -x^{2}+6x-5 ως \left(-x^{2}+5x\right)+\left(x-5\right).

$$\left(-x^{2}+5x\right)+\left(x-5\right)$$

Παραγοντοποιήστε το -x στην εξίσωση -x^{2}+5x.

$$-x\left(x-5\right)+x-5$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-5 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-5\right)\left(-x+1\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, λύστε x-5=0 και -x+1=0.

$$x=5 x=1$$

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με 5.

$$x=1$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με οποιαδήποτε από τις τιμές 0,5 επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το x\left(x-5\right), δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των x,x-5.

$$\left(x-5\right)\times 3+x\times 3=x\left(3x-12\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x-5 με το 3.

$$3x-15+x\times 3=x\left(3x-12\right)$$

Συνδυάστε το 3x και το x\times 3 για να λάβετε 6x.

$$6x-15=x\left(3x-12\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x με το 3x-12.

$$6x-15=3x^{2}-12x$$

Αφαιρέστε 3x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$6x-15-3x^{2}=-12x$$

Προσθήκη 12x και στις δύο πλευρές.

$$6x-15-3x^{2}+12x=0$$

Συνδυάστε το 6x και το 12x για να λάβετε 18x.

$$18x-15-3x^{2}=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$-3x^{2}+18x-15=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με -3, το b με 18 και το c με -15 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-18±\sqrt{18^{2}-4\left(-3\right)\left(-15\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Υψώστε το 18 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-18±\sqrt{324-4\left(-3\right)\left(-15\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί -3.

$$x=\frac{-18±\sqrt{324+12\left(-15\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 12 επί -15.

$$x=\frac{-18±\sqrt{324-180}}{2\left(-3\right)}$$

Προσθέστε το 324 και το -180.

$$x=\frac{-18±\sqrt{144}}{2\left(-3\right)}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 144.

$$x=\frac{-18±12}{2\left(-3\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί -3.

$$x=\frac{-18±12}{-6}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-18±12}{-6} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -18 και το 12.

$$x=-\frac{6}{-6}$$

Διαιρέστε το -6 με το -6.

$$x=1$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-18±12}{-6} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 12 από -18.

$$x=-\frac{30}{-6}$$

Διαιρέστε το -30 με το -6.

$$x=5$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=1 x=5$$

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με 5.

$$x=1$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με οποιαδήποτε από τις τιμές 0,5 επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το x\left(x-5\right), δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των x,x-5.

$$\left(x-5\right)\times 3+x\times 3=x\left(3x-12\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x-5 με το 3.

$$3x-15+x\times 3=x\left(3x-12\right)$$

Συνδυάστε το 3x και το x\times 3 για να λάβετε 6x.

$$6x-15=x\left(3x-12\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x με το 3x-12.

$$6x-15=3x^{2}-12x$$

Αφαιρέστε 3x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$6x-15-3x^{2}=-12x$$

Προσθήκη 12x και στις δύο πλευρές.

$$6x-15-3x^{2}+12x=0$$

Συνδυάστε το 6x και το 12x για να λάβετε 18x.

$$18x-15-3x^{2}=0$$

Προσθήκη 15 και στις δύο πλευρές. Το άθροισμα οποιουδήποτε αριθμού με το μηδέν ισούται με τον ίδιο αριθμό.

$$18x-3x^{2}=15$$

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$-3x^{2}+18x=15$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με -3.

$$\frac{-3x^{2}+18x}{-3}=\frac{15}{-3}$$

Η διαίρεση με το -3 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το -3.

$$x^{2}+\frac{18}{-3}x=\frac{15}{-3}$$

Διαιρέστε το 18 με το -3.

$$x^{2}-6x=\frac{15}{-3}$$

Διαιρέστε το 15 με το -3.

$$x^{2}-6x=-5$$

Διαιρέστε το -6, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -3. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -3 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-6x+\left(-3\right)^{2}=-5+\left(-3\right)^{2}$$

Υψώστε το -3 στο τετράγωνο.

$$x^{2}-6x+9=-5+9$$

Προσθέστε το -5 και το 9.

$$x^{2}-6x+9=4$$

Παραγοντοποιήστε το x^{2}-6x+9. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποιηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-3\right)^{2}=4$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-3\right)^{2}}=\sqrt{4}$$

Απλοποιήστε.

$$x-3=2 x-3=-2$$

Προσθέστε 3 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=5 x=1$$

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με 5.

$$x=1$$