Επίλυση 3/x+2/x-1=2

$$\frac { 3 } { x } + \frac { 2 } { x - 1 } = 2$$

Λύση ως προς x

$$x=3$$

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με οποιαδήποτε από τις τιμές 0,1 επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το x\left(x-1\right), δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των x,x-1.

$$\left(x-1\right)\times 3+x\times 2=2x\left(x-1\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x-1 με το 3.

$$3x-3+x\times 2=2x\left(x-1\right)$$

Συνδυάστε το 3x και το x\times 2 για να λάβετε 5x.

$$5x-3=2x\left(x-1\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 2x με το x-1.

$$5x-3=2x^{2}-2x$$

Αφαιρέστε 2x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$5x-3-2x^{2}=-2x$$

Προσθήκη 2x και στις δύο πλευρές.

$$5x-3-2x^{2}+2x=0$$

Συνδυάστε το 5x και το 2x για να λάβετε 7x.

$$7x-3-2x^{2}=0$$

Αναδιατάξτε το πολυώνυμο για να το θέσετε σε τυπική μορφή. Τοποθετήστε τους όρους με τη σειρά, από τη μεγαλύτερη προς τη μικρότερη δύναμη.

$$-2x^{2}+7x-3=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως -2x^{2}+ax+bx-3. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=7 ab=-2\left(-3\right)=6$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Επειδή η a+b είναι θετική, a και b είναι θετικοί. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 6.

$$1,6 2,3$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1+6=7 2+3=5$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 7.

$$a=6 b=1$$

Γράψτε πάλι το -2x^{2}+7x-3 ως \left(-2x^{2}+6x\right)+\left(x-3\right).

$$\left(-2x^{2}+6x\right)+\left(x-3\right)$$

Παραγοντοποιήστε 2x στο πρώτο και στο -1 της δεύτερης ομάδας.

$$2x\left(-x+3\right)-\left(-x+3\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο -x+3 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(-x+3\right)\left(2x-1\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε -x+3=0 και 2x-1=0.

$$x=3 x=\frac{1}{2}$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με οποιαδήποτε από τις τιμές 0,1 επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το x\left(x-1\right), δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των x,x-1.

$$\left(x-1\right)\times 3+x\times 2=2x\left(x-1\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x-1 με το 3.

$$3x-3+x\times 2=2x\left(x-1\right)$$

Συνδυάστε το 3x και το x\times 2 για να λάβετε 5x.

$$5x-3=2x\left(x-1\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 2x με το x-1.

$$5x-3=2x^{2}-2x$$

Αφαιρέστε 2x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$5x-3-2x^{2}=-2x$$

Προσθήκη 2x και στις δύο πλευρές.

$$5x-3-2x^{2}+2x=0$$

Συνδυάστε το 5x και το 2x για να λάβετε 7x.

$$7x-3-2x^{2}=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$-2x^{2}+7x-3=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με -2, το b με 7 και το c με -3 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\left(-2\right)\left(-3\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Υψώστε το 7 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\left(-2\right)\left(-3\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί -2.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+8\left(-3\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 8 επί -3.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-24}}{2\left(-2\right)}$$

Προσθέστε το 49 και το -24.

$$x=\frac{-7±\sqrt{25}}{2\left(-2\right)}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 25.

$$x=\frac{-7±5}{2\left(-2\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί -2.

$$x=\frac{-7±5}{-4}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-7±5}{-4} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -7 και το 5.

$$x=-\frac{2}{-4}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-2}{-4} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$x=\frac{1}{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-7±5}{-4} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 5 από -7.

$$x=-\frac{12}{-4}$$

Διαιρέστε το -12 με το -4.

$$x=3$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=\frac{1}{2} x=3$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με οποιαδήποτε από τις τιμές 0,1 επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το x\left(x-1\right), δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των x,x-1.

$$\left(x-1\right)\times 3+x\times 2=2x\left(x-1\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x-1 με το 3.

$$3x-3+x\times 2=2x\left(x-1\right)$$

Συνδυάστε το 3x και το x\times 2 για να λάβετε 5x.

$$5x-3=2x\left(x-1\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 2x με το x-1.

$$5x-3=2x^{2}-2x$$

Αφαιρέστε 2x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$5x-3-2x^{2}=-2x$$

Προσθήκη 2x και στις δύο πλευρές.

$$5x-3-2x^{2}+2x=0$$

Συνδυάστε το 5x και το 2x για να λάβετε 7x.

$$7x-3-2x^{2}=0$$

Προσθήκη 3 και στις δύο πλευρές. Το άθροισμα οποιουδήποτε αριθμού με το μηδέν ισούται με τον ίδιο αριθμό.

$$7x-2x^{2}=3$$

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$-2x^{2}+7x=3$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με -2.

$$\frac{-2x^{2}+7x}{-2}=\frac{3}{-2}$$

Η διαίρεση με το -2 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το -2.

$$x^{2}+\frac{7}{-2}x=\frac{3}{-2}$$

Διαιρέστε το 7 με το -2.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x=\frac{3}{-2}$$

Διαιρέστε το 3 με το -2.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x=-\frac{3}{2}$$

Διαιρέστε το -\frac{7}{2}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{7}{4}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{7}{4} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x+\left(-\frac{7}{4}\right)^{2}=-\frac{3}{2}+\left(-\frac{7}{4}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{7}{4} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=-\frac{3}{2}+\frac{49}{16}$$

Προσθέστε το -\frac{3}{2} και το \frac{49}{16} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=\frac{25}{16}$$

Παραγον x^{2}-\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{25}{16}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{16}}$$

Απλοποιήστε.

$$x-\frac{7}{4}=\frac{5}{4} x-\frac{7}{4}=-\frac{5}{4}$$

Προσθέστε \frac{7}{4} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=3 x=\frac{1}{2}$$