Επίλυση 3/x+5+1=10/x^2+10x+25.xneq-5

$$\frac { 3 } { x + 5 } + 1 = \frac { 10 } { x ^ { 2 } + 10 x + 25 } . x \neq - 5$$

Λύση ως προς x

$$x=-10$$

$$x=-3$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με -5 επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το \left(x+5\right)^{2}, δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των x+5,x^{2}+10x+25.

$$\left(x+5\right)\times 3+\left(x+5\right)^{2}=10$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x+5 με το 3.

$$3x+15+\left(x+5\right)^{2}=10$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(x+5\right)^{2}.

$$3x+15+x^{2}+10x+25=10$$

Συνδυάστε το 3x και το 10x για να λάβετε 13x.

$$13x+15+x^{2}+25=10$$

Προσθέστε 15 και 25 για να λάβετε 40.

$$13x+40+x^{2}=10$$

Αφαιρέστε 10 και από τις δύο πλευρές.

$$13x+40+x^{2}-10=0$$

Αφαιρέστε 10 από 40 για να λάβετε 30.

$$13x+30+x^{2}=0$$

Αναδιατάξτε το πολυώνυμο για να το θέσετε σε τυπική μορφή. Τοποθετήστε τους όρους με τη σειρά, από τη μεγαλύτερη προς τη μικρότερη δύναμη.

$$x^{2}+13x+30=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε x^{2}+13x+30 χρησιμοποιώντας τον τύπο x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=13 ab=30$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Επειδή η a+b είναι θετική, a και b είναι θετικοί. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 30.

$$1,30 2,15 3,10 5,6$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1+30=31 2+15=17 3+10=13 5+6=11$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 13.

$$a=3 b=10$$

Επανεγγραφή παραγοντοποιηθεί παράστασης \left(x+a\right)\left(x+b\right) χρησιμοποιώντας τις τιμές που έχουν ληφθεί.

$$\left(x+3\right)\left(x+10\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x+3=0 και x+10=0.

$$x=-3 x=-10$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με -5 επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το \left(x+5\right)^{2}, δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των x+5,x^{2}+10x+25.

$$\left(x+5\right)\times 3+\left(x+5\right)^{2}=10$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x+5 με το 3.

$$3x+15+\left(x+5\right)^{2}=10$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(x+5\right)^{2}.

$$3x+15+x^{2}+10x+25=10$$

Συνδυάστε το 3x και το 10x για να λάβετε 13x.

$$13x+15+x^{2}+25=10$$

Προσθέστε 15 και 25 για να λάβετε 40.

$$13x+40+x^{2}=10$$

Αφαιρέστε 10 και από τις δύο πλευρές.

$$13x+40+x^{2}-10=0$$

Αφαιρέστε 10 από 40 για να λάβετε 30.

$$13x+30+x^{2}=0$$

Αναδιατάξτε το πολυώνυμο για να το θέσετε σε τυπική μορφή. Τοποθετήστε τους όρους με τη σειρά, από τη μεγαλύτερη προς τη μικρότερη δύναμη.

$$x^{2}+13x+30=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως x^{2}+ax+bx+30. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=13 ab=1\times 30=30$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Επειδή η a+b είναι θετική, a και b είναι θετικοί. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 30.

$$1,30 2,15 3,10 5,6$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1+30=31 2+15=17 3+10=13 5+6=11$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 13.

$$a=3 b=10$$

Γράψτε πάλι το x^{2}+13x+30 ως \left(x^{2}+3x\right)+\left(10x+30\right).

$$\left(x^{2}+3x\right)+\left(10x+30\right)$$

Παραγοντοποιήστε x στο πρώτο και στο 10 της δεύτερης ομάδας.

$$x\left(x+3\right)+10\left(x+3\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x+3 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x+3\right)\left(x+10\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x+3=0 και x+10=0.

$$x=-3 x=-10$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με -5 επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το \left(x+5\right)^{2}, δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των x+5,x^{2}+10x+25.

$$\left(x+5\right)\times 3+\left(x+5\right)^{2}=10$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x+5 με το 3.

$$3x+15+\left(x+5\right)^{2}=10$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(x+5\right)^{2}.

$$3x+15+x^{2}+10x+25=10$$

Συνδυάστε το 3x και το 10x για να λάβετε 13x.

$$13x+15+x^{2}+25=10$$

Προσθέστε 15 και 25 για να λάβετε 40.

$$13x+40+x^{2}=10$$

Αφαιρέστε 10 και από τις δύο πλευρές.

$$13x+40+x^{2}-10=0$$

Αφαιρέστε 10 από 40 για να λάβετε 30.

$$13x+30+x^{2}=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$x^{2}+13x+30=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 1, το b με 13 και το c με 30 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-13±\sqrt{13^{2}-4\times 30}}{2}$$

Υψώστε το 13 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-4\times 30}}{2}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 30.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-120}}{2}$$

Προσθέστε το 169 και το -120.

$$x=\frac{-13±\sqrt{49}}{2}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 49.

$$x=\frac{-13±7}{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-13±7}{2} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -13 και το 7.

$$x=-\frac{6}{2}$$

Διαιρέστε το -6 με το 2.

$$x=-3$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-13±7}{2} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 7 από -13.

$$x=-\frac{20}{2}$$

Διαιρέστε το -20 με το 2.

$$x=-10$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=-3 x=-10$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με -5 επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το \left(x+5\right)^{2}, δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των x+5,x^{2}+10x+25.

$$\left(x+5\right)\times 3+\left(x+5\right)^{2}=10$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x+5 με το 3.

$$3x+15+\left(x+5\right)^{2}=10$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(x+5\right)^{2}.

$$3x+15+x^{2}+10x+25=10$$

Συνδυάστε το 3x και το 10x για να λάβετε 13x.

$$13x+15+x^{2}+25=10$$

Προσθέστε 15 και 25 για να λάβετε 40.

$$13x+40+x^{2}=10$$

Αφαιρέστε 40 και από τις δύο πλευρές.

$$13x+x^{2}=10-40$$

Αφαιρέστε 40 από 10 για να λάβετε -30.

$$13x+x^{2}=-30$$

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+13x=-30$$

Διαιρέστε το 13, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε \frac{13}{2}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του \frac{13}{2} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}+13x+\left(\frac{13}{2}\right)^{2}=-30+\left(\frac{13}{2}\right)^{2}$$

Υψώστε το \frac{13}{2} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}+13x+\frac{169}{4}=-30+\frac{169}{4}$$

Προσθέστε το -30 και το \frac{169}{4}.

$$x^{2}+13x+\frac{169}{4}=\frac{49}{4}$$

Παραγον x^{2}+13x+\frac{169}{4}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{13}{2}\right)^{2}=\frac{49}{4}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x+\frac{13}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{4}}$$

Απλοποιήστε.

$$x+\frac{13}{2}=\frac{7}{2} x+\frac{13}{2}=-\frac{7}{2}$$

Αφαιρέστε \frac{13}{2} και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=-3 x=-10$$