Επίλυση 2x-5/x^2+3x+2+4/x^2-4=1/x-2

$$\frac { 2 x - 5 } { x ^ { 2 } + 3 x + 2 } + \frac { 4 } { x ^ { 2 } - 4 } = \frac { 1 } { x - 2 }$$

Λύση ως προς x

$$x=6$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με οποιαδήποτε από τις τιμές -2,-1,2 επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το \left(x-2\right)\left(x+1\right)\left(x+2\right), δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των x^{2}+3x+2,x^{2}-4,x-2.

$$\left(x-2\right)\left(2x-5\right)+\left(x+1\right)\times 4=\left(x+1\right)\left(x+2\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x-2 με το 2x-5 και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$2x^{2}-9x+10+\left(x+1\right)\times 4=\left(x+1\right)\left(x+2\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x+1 με το 4.

$$2x^{2}-9x+10+4x+4=\left(x+1\right)\left(x+2\right)$$

Συνδυάστε το -9x και το 4x για να λάβετε -5x.

$$2x^{2}-5x+10+4=\left(x+1\right)\left(x+2\right)$$

Προσθέστε 10 και 4 για να λάβετε 14.

$$2x^{2}-5x+14=\left(x+1\right)\left(x+2\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x+1 με το x+2 και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$2x^{2}-5x+14=x^{2}+3x+2$$

Αφαιρέστε x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$2x^{2}-5x+14-x^{2}=3x+2$$

Συνδυάστε το 2x^{2} και το -x^{2} για να λάβετε x^{2}.

$$x^{2}-5x+14=3x+2$$

Αφαιρέστε 3x και από τις δύο πλευρές.

$$x^{2}-5x+14-3x=2$$

Συνδυάστε το -5x και το -3x για να λάβετε -8x.

$$x^{2}-8x+14=2$$

Αφαιρέστε 2 και από τις δύο πλευρές.

$$x^{2}-8x+14-2=0$$

Αφαιρέστε 2 από 14 για να λάβετε 12.

$$x^{2}-8x+12=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε x^{2}-8x+12 χρησιμοποιώντας τον τύπο x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-8 ab=12$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, το a και οι b είναι αρνητικά. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 12.

$$-1,-12 -2,-6 -3,-4$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1-12=-13 -2-6=-8 -3-4=-7$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -8.

$$a=-6 b=-2$$

Επανεγγραφή παραγοντοποιηθεί παράστασης \left(x+a\right)\left(x+b\right) χρησιμοποιώντας τις τιμές που έχουν ληφθεί.

$$\left(x-6\right)\left(x-2\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x-6=0 και x-2=0.

$$x=6 x=2$$

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με 2.

$$x=6$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με οποιαδήποτε από τις τιμές -2,-1,2 επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το \left(x-2\right)\left(x+1\right)\left(x+2\right), δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των x^{2}+3x+2,x^{2}-4,x-2.

$$\left(x-2\right)\left(2x-5\right)+\left(x+1\right)\times 4=\left(x+1\right)\left(x+2\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x-2 με το 2x-5 και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$2x^{2}-9x+10+\left(x+1\right)\times 4=\left(x+1\right)\left(x+2\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x+1 με το 4.

$$2x^{2}-9x+10+4x+4=\left(x+1\right)\left(x+2\right)$$

Συνδυάστε το -9x και το 4x για να λάβετε -5x.

$$2x^{2}-5x+10+4=\left(x+1\right)\left(x+2\right)$$

Προσθέστε 10 και 4 για να λάβετε 14.

$$2x^{2}-5x+14=\left(x+1\right)\left(x+2\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x+1 με το x+2 και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$2x^{2}-5x+14=x^{2}+3x+2$$

Αφαιρέστε x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$2x^{2}-5x+14-x^{2}=3x+2$$

Συνδυάστε το 2x^{2} και το -x^{2} για να λάβετε x^{2}.

$$x^{2}-5x+14=3x+2$$

Αφαιρέστε 3x και από τις δύο πλευρές.

$$x^{2}-5x+14-3x=2$$

Συνδυάστε το -5x και το -3x για να λάβετε -8x.

$$x^{2}-8x+14=2$$

Αφαιρέστε 2 και από τις δύο πλευρές.

$$x^{2}-8x+14-2=0$$

Αφαιρέστε 2 από 14 για να λάβετε 12.

$$x^{2}-8x+12=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως x^{2}+ax+bx+12. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-8 ab=1\times 12=12$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, το a και οι b είναι αρνητικά. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 12.

$$-1,-12 -2,-6 -3,-4$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1-12=-13 -2-6=-8 -3-4=-7$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -8.

$$a=-6 b=-2$$

Γράψτε πάλι το x^{2}-8x+12 ως \left(x^{2}-6x\right)+\left(-2x+12\right).

$$\left(x^{2}-6x\right)+\left(-2x+12\right)$$

Παραγοντοποιήστε x στο πρώτο και στο -2 της δεύτερης ομάδας.

$$x\left(x-6\right)-2\left(x-6\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-6 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-6\right)\left(x-2\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x-6=0 και x-2=0.

$$x=6 x=2$$

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με 2.

$$x=6$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με οποιαδήποτε από τις τιμές -2,-1,2 επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το \left(x-2\right)\left(x+1\right)\left(x+2\right), δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των x^{2}+3x+2,x^{2}-4,x-2.

$$\left(x-2\right)\left(2x-5\right)+\left(x+1\right)\times 4=\left(x+1\right)\left(x+2\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x-2 με το 2x-5 και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$2x^{2}-9x+10+\left(x+1\right)\times 4=\left(x+1\right)\left(x+2\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x+1 με το 4.

$$2x^{2}-9x+10+4x+4=\left(x+1\right)\left(x+2\right)$$

Συνδυάστε το -9x και το 4x για να λάβετε -5x.

$$2x^{2}-5x+10+4=\left(x+1\right)\left(x+2\right)$$

Προσθέστε 10 και 4 για να λάβετε 14.

$$2x^{2}-5x+14=\left(x+1\right)\left(x+2\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x+1 με το x+2 και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$2x^{2}-5x+14=x^{2}+3x+2$$

Αφαιρέστε x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$2x^{2}-5x+14-x^{2}=3x+2$$

Συνδυάστε το 2x^{2} και το -x^{2} για να λάβετε x^{2}.

$$x^{2}-5x+14=3x+2$$

Αφαιρέστε 3x και από τις δύο πλευρές.

$$x^{2}-5x+14-3x=2$$

Συνδυάστε το -5x και το -3x για να λάβετε -8x.

$$x^{2}-8x+14=2$$

Αφαιρέστε 2 και από τις δύο πλευρές.

$$x^{2}-8x+14-2=0$$

Αφαιρέστε 2 από 14 για να λάβετε 12.

$$x^{2}-8x+12=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 1, το b με -8 και το c με 12 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 12}}{2}$$

Υψώστε το -8 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 12}}{2}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 12.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-48}}{2}$$

Προσθέστε το 64 και το -48.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{16}}{2}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 16.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±4}{2}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -8 είναι 8.

$$x=\frac{8±4}{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{8±4}{2} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 8 και το 4.

$$x=\frac{12}{2}$$

Διαιρέστε το 12 με το 2.

$$x=6$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{8±4}{2} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 4 από 8.

$$x=\frac{4}{2}$$

Διαιρέστε το 4 με το 2.

$$x=2$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=6 x=2$$

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με 2.

$$x=6$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με οποιαδήποτε από τις τιμές -2,-1,2 επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το \left(x-2\right)\left(x+1\right)\left(x+2\right), δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των x^{2}+3x+2,x^{2}-4,x-2.

$$\left(x-2\right)\left(2x-5\right)+\left(x+1\right)\times 4=\left(x+1\right)\left(x+2\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x-2 με το 2x-5 και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$2x^{2}-9x+10+\left(x+1\right)\times 4=\left(x+1\right)\left(x+2\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x+1 με το 4.

$$2x^{2}-9x+10+4x+4=\left(x+1\right)\left(x+2\right)$$

Συνδυάστε το -9x και το 4x για να λάβετε -5x.

$$2x^{2}-5x+10+4=\left(x+1\right)\left(x+2\right)$$

Προσθέστε 10 και 4 για να λάβετε 14.

$$2x^{2}-5x+14=\left(x+1\right)\left(x+2\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x+1 με το x+2 και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$2x^{2}-5x+14=x^{2}+3x+2$$

Αφαιρέστε x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$2x^{2}-5x+14-x^{2}=3x+2$$

Συνδυάστε το 2x^{2} και το -x^{2} για να λάβετε x^{2}.

$$x^{2}-5x+14=3x+2$$

Αφαιρέστε 3x και από τις δύο πλευρές.

$$x^{2}-5x+14-3x=2$$

Συνδυάστε το -5x και το -3x για να λάβετε -8x.

$$x^{2}-8x+14=2$$

Αφαιρέστε 14 και από τις δύο πλευρές.

$$x^{2}-8x=2-14$$

Αφαιρέστε 14 από 2 για να λάβετε -12.

$$x^{2}-8x=-12$$

Διαιρέστε το -8, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -4. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -4 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-8x+\left(-4\right)^{2}=-12+\left(-4\right)^{2}$$

Υψώστε το -4 στο τετράγωνο.

$$x^{2}-8x+16=-12+16$$

Προσθέστε το -12 και το 16.

$$x^{2}-8x+16=4$$

Παραγον x^{2}-8x+16. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-4\right)^{2}=4$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-4\right)^{2}}=\sqrt{4}$$

Απλοποιήστε.

$$x-4=2 x-4=-2$$

Προσθέστε 4 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=6 x=2$$

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με 2.

$$x=6$$