Επίλυση 2x/x-4+3/x-3+4=30+5x^2-36x/x^2-7x+12

$$\frac { 2 x } { x - 4 } + \frac { 3 } { x - 3 } + 4 = \frac { 30 + 5 x ^ { 2 } - 36 x } { x ^ { 2 } - 7 x + 12 }$$

Λύση ως προς x

$$x=-3$$

$$x=-2$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με οποιαδήποτε από τις τιμές 3,4 επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το \left(x-4\right)\left(x-3\right), δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των x-4,x-3,x^{2}-7x+12.

$$\left(x-3\right)\times 2x+\left(x-4\right)\times 3+\left(x-4\right)\left(x-3\right)\times 4=30+5x^{2}-36x$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x-3 με το 2.

$$\left(2x-6\right)x+\left(x-4\right)\times 3+\left(x-4\right)\left(x-3\right)\times 4=30+5x^{2}-36x$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 2x-6 με το x.

$$2x^{2}-6x+\left(x-4\right)\times 3+\left(x-4\right)\left(x-3\right)\times 4=30+5x^{2}-36x$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x-4 με το 3.

$$2x^{2}-6x+3x-12+\left(x-4\right)\left(x-3\right)\times 4=30+5x^{2}-36x$$

Συνδυάστε το -6x και το 3x για να λάβετε -3x.

$$2x^{2}-3x-12+\left(x-4\right)\left(x-3\right)\times 4=30+5x^{2}-36x$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x-4 με το x-3 και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$2x^{2}-3x-12+\left(x^{2}-7x+12\right)\times 4=30+5x^{2}-36x$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x^{2}-7x+12 με το 4.

$$2x^{2}-3x-12+4x^{2}-28x+48=30+5x^{2}-36x$$

Συνδυάστε το 2x^{2} και το 4x^{2} για να λάβετε 6x^{2}.

$$6x^{2}-3x-12-28x+48=30+5x^{2}-36x$$

Συνδυάστε το -3x και το -28x για να λάβετε -31x.

$$6x^{2}-31x-12+48=30+5x^{2}-36x$$

Προσθέστε -12 και 48 για να λάβετε 36.

$$6x^{2}-31x+36=30+5x^{2}-36x$$

Αφαιρέστε 30 και από τις δύο πλευρές.

$$6x^{2}-31x+36-30=5x^{2}-36x$$

Αφαιρέστε 30 από 36 για να λάβετε 6.

$$6x^{2}-31x+6=5x^{2}-36x$$

Αφαιρέστε 5x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$6x^{2}-31x+6-5x^{2}=-36x$$

Συνδυάστε το 6x^{2} και το -5x^{2} για να λάβετε x^{2}.

$$x^{2}-31x+6=-36x$$

Προσθήκη 36x και στις δύο πλευρές.

$$x^{2}-31x+6+36x=0$$

Συνδυάστε το -31x και το 36x για να λάβετε 5x.

$$x^{2}+5x+6=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε x^{2}+5x+6 χρησιμοποιώντας τον τύπο x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=5 ab=6$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Επειδή η a+b είναι θετική, a και b είναι θετικοί. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 6.

$$1,6 2,3$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1+6=7 2+3=5$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 5.

$$a=2 b=3$$

Επανεγγραφή παραγοντοποιηθεί παράστασης \left(x+a\right)\left(x+b\right) χρησιμοποιώντας τις τιμές που έχουν ληφθεί.

$$\left(x+2\right)\left(x+3\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x+2=0 και x+3=0.

$$x=-2 x=-3$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με οποιαδήποτε από τις τιμές 3,4 επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το \left(x-4\right)\left(x-3\right), δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των x-4,x-3,x^{2}-7x+12.

$$\left(x-3\right)\times 2x+\left(x-4\right)\times 3+\left(x-4\right)\left(x-3\right)\times 4=30+5x^{2}-36x$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x-3 με το 2.

$$\left(2x-6\right)x+\left(x-4\right)\times 3+\left(x-4\right)\left(x-3\right)\times 4=30+5x^{2}-36x$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 2x-6 με το x.

$$2x^{2}-6x+\left(x-4\right)\times 3+\left(x-4\right)\left(x-3\right)\times 4=30+5x^{2}-36x$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x-4 με το 3.

$$2x^{2}-6x+3x-12+\left(x-4\right)\left(x-3\right)\times 4=30+5x^{2}-36x$$

Συνδυάστε το -6x και το 3x για να λάβετε -3x.

$$2x^{2}-3x-12+\left(x-4\right)\left(x-3\right)\times 4=30+5x^{2}-36x$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x-4 με το x-3 και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$2x^{2}-3x-12+\left(x^{2}-7x+12\right)\times 4=30+5x^{2}-36x$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x^{2}-7x+12 με το 4.

$$2x^{2}-3x-12+4x^{2}-28x+48=30+5x^{2}-36x$$

Συνδυάστε το 2x^{2} και το 4x^{2} για να λάβετε 6x^{2}.

$$6x^{2}-3x-12-28x+48=30+5x^{2}-36x$$

Συνδυάστε το -3x και το -28x για να λάβετε -31x.

$$6x^{2}-31x-12+48=30+5x^{2}-36x$$

Προσθέστε -12 και 48 για να λάβετε 36.

$$6x^{2}-31x+36=30+5x^{2}-36x$$

Αφαιρέστε 30 και από τις δύο πλευρές.

$$6x^{2}-31x+36-30=5x^{2}-36x$$

Αφαιρέστε 30 από 36 για να λάβετε 6.

$$6x^{2}-31x+6=5x^{2}-36x$$

Αφαιρέστε 5x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$6x^{2}-31x+6-5x^{2}=-36x$$

Συνδυάστε το 6x^{2} και το -5x^{2} για να λάβετε x^{2}.

$$x^{2}-31x+6=-36x$$

Προσθήκη 36x και στις δύο πλευρές.

$$x^{2}-31x+6+36x=0$$

Συνδυάστε το -31x και το 36x για να λάβετε 5x.

$$x^{2}+5x+6=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως x^{2}+ax+bx+6. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=5 ab=1\times 6=6$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Επειδή η a+b είναι θετική, a και b είναι θετικοί. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 6.

$$1,6 2,3$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1+6=7 2+3=5$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 5.

$$a=2 b=3$$

Γράψτε πάλι το x^{2}+5x+6 ως \left(x^{2}+2x\right)+\left(3x+6\right).

$$\left(x^{2}+2x\right)+\left(3x+6\right)$$

Παραγοντοποιήστε x στο πρώτο και στο 3 της δεύτερης ομάδας.

$$x\left(x+2\right)+3\left(x+2\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x+2 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x+2\right)\left(x+3\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x+2=0 και x+3=0.

$$x=-2 x=-3$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με οποιαδήποτε από τις τιμές 3,4 επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το \left(x-4\right)\left(x-3\right), δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των x-4,x-3,x^{2}-7x+12.

$$\left(x-3\right)\times 2x+\left(x-4\right)\times 3+\left(x-4\right)\left(x-3\right)\times 4=30+5x^{2}-36x$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x-3 με το 2.

$$\left(2x-6\right)x+\left(x-4\right)\times 3+\left(x-4\right)\left(x-3\right)\times 4=30+5x^{2}-36x$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 2x-6 με το x.

$$2x^{2}-6x+\left(x-4\right)\times 3+\left(x-4\right)\left(x-3\right)\times 4=30+5x^{2}-36x$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x-4 με το 3.

$$2x^{2}-6x+3x-12+\left(x-4\right)\left(x-3\right)\times 4=30+5x^{2}-36x$$

Συνδυάστε το -6x και το 3x για να λάβετε -3x.

$$2x^{2}-3x-12+\left(x-4\right)\left(x-3\right)\times 4=30+5x^{2}-36x$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x-4 με το x-3 και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$2x^{2}-3x-12+\left(x^{2}-7x+12\right)\times 4=30+5x^{2}-36x$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x^{2}-7x+12 με το 4.

$$2x^{2}-3x-12+4x^{2}-28x+48=30+5x^{2}-36x$$

Συνδυάστε το 2x^{2} και το 4x^{2} για να λάβετε 6x^{2}.

$$6x^{2}-3x-12-28x+48=30+5x^{2}-36x$$

Συνδυάστε το -3x και το -28x για να λάβετε -31x.

$$6x^{2}-31x-12+48=30+5x^{2}-36x$$

Προσθέστε -12 και 48 για να λάβετε 36.

$$6x^{2}-31x+36=30+5x^{2}-36x$$

Αφαιρέστε 30 και από τις δύο πλευρές.

$$6x^{2}-31x+36-30=5x^{2}-36x$$

Αφαιρέστε 30 από 36 για να λάβετε 6.

$$6x^{2}-31x+6=5x^{2}-36x$$

Αφαιρέστε 5x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$6x^{2}-31x+6-5x^{2}=-36x$$

Συνδυάστε το 6x^{2} και το -5x^{2} για να λάβετε x^{2}.

$$x^{2}-31x+6=-36x$$

Προσθήκη 36x και στις δύο πλευρές.

$$x^{2}-31x+6+36x=0$$

Συνδυάστε το -31x και το 36x για να λάβετε 5x.

$$x^{2}+5x+6=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 1, το b με 5 και το c με 6 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 6}}{2}$$

Υψώστε το 5 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 6}}{2}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 6.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-24}}{2}$$

Προσθέστε το 25 και το -24.

$$x=\frac{-5±\sqrt{1}}{2}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 1.

$$x=\frac{-5±1}{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-5±1}{2} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -5 και το 1.

$$x=-\frac{4}{2}$$

Διαιρέστε το -4 με το 2.

$$x=-2$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-5±1}{2} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 1 από -5.

$$x=-\frac{6}{2}$$

Διαιρέστε το -6 με το 2.

$$x=-3$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=-2 x=-3$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με οποιαδήποτε από τις τιμές 3,4 επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το \left(x-4\right)\left(x-3\right), δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των x-4,x-3,x^{2}-7x+12.

$$\left(x-3\right)\times 2x+\left(x-4\right)\times 3+\left(x-4\right)\left(x-3\right)\times 4=30+5x^{2}-36x$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x-3 με το 2.

$$\left(2x-6\right)x+\left(x-4\right)\times 3+\left(x-4\right)\left(x-3\right)\times 4=30+5x^{2}-36x$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 2x-6 με το x.

$$2x^{2}-6x+\left(x-4\right)\times 3+\left(x-4\right)\left(x-3\right)\times 4=30+5x^{2}-36x$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x-4 με το 3.

$$2x^{2}-6x+3x-12+\left(x-4\right)\left(x-3\right)\times 4=30+5x^{2}-36x$$

Συνδυάστε το -6x και το 3x για να λάβετε -3x.

$$2x^{2}-3x-12+\left(x-4\right)\left(x-3\right)\times 4=30+5x^{2}-36x$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x-4 με το x-3 και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$2x^{2}-3x-12+\left(x^{2}-7x+12\right)\times 4=30+5x^{2}-36x$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x^{2}-7x+12 με το 4.

$$2x^{2}-3x-12+4x^{2}-28x+48=30+5x^{2}-36x$$

Συνδυάστε το 2x^{2} και το 4x^{2} για να λάβετε 6x^{2}.

$$6x^{2}-3x-12-28x+48=30+5x^{2}-36x$$

Συνδυάστε το -3x και το -28x για να λάβετε -31x.

$$6x^{2}-31x-12+48=30+5x^{2}-36x$$

Προσθέστε -12 και 48 για να λάβετε 36.

$$6x^{2}-31x+36=30+5x^{2}-36x$$

Αφαιρέστε 5x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$6x^{2}-31x+36-5x^{2}=30-36x$$

Συνδυάστε το 6x^{2} και το -5x^{2} για να λάβετε x^{2}.

$$x^{2}-31x+36=30-36x$$

Προσθήκη 36x και στις δύο πλευρές.

$$x^{2}-31x+36+36x=30$$

Συνδυάστε το -31x και το 36x για να λάβετε 5x.

$$x^{2}+5x+36=30$$

Αφαιρέστε 36 και από τις δύο πλευρές.

$$x^{2}+5x=30-36$$

Αφαιρέστε 36 από 30 για να λάβετε -6.

$$x^{2}+5x=-6$$

Διαιρέστε το 5, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε \frac{5}{2}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του \frac{5}{2} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}+5x+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}=-6+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Υψώστε το \frac{5}{2} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}+5x+\frac{25}{4}=-6+\frac{25}{4}$$

Προσθέστε το -6 και το \frac{25}{4}.

$$x^{2}+5x+\frac{25}{4}=\frac{1}{4}$$

Παραγον x^{2}+5x+\frac{25}{4}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}}$$

Απλοποιήστε.

$$x+\frac{5}{2}=\frac{1}{2} x+\frac{5}{2}=-\frac{1}{2}$$

Αφαιρέστε \frac{5}{2} και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=-2 x=-3$$