Επίλυση 2x/x^2-100=2/15

$$\frac { 2 x } { x ^ { 2 } - 100 } = \frac { 2 } { 15 }$$

Λύση ως προς x

$$x=-5$$

$$x=20$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με οποιαδήποτε από τις τιμές -10,10 επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το 15\left(x-10\right)\left(x+10\right), δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των x^{2}-100,15.

$$15\times 2x=2\left(x-10\right)\left(x+10\right)$$

Πολλαπλασιάστε 15 και 2 για να λάβετε 30.

$$30x=2\left(x-10\right)\left(x+10\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 2 με το x-10.

$$30x=\left(2x-20\right)\left(x+10\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 2x-20 με το x+10 και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$30x=2x^{2}-200$$

Αφαιρέστε 2x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$30x-2x^{2}=-200$$

Προσθήκη 200 και στις δύο πλευρές.

$$30x-2x^{2}+200=0$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 2.

$$15x-x^{2}+100=0$$

Αναδιατάξτε το πολυώνυμο για να το θέσετε σε τυπική μορφή. Τοποθετήστε τους όρους με τη σειρά, από τη μεγαλύτερη προς τη μικρότερη δύναμη.

$$-x^{2}+15x+100=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως -x^{2}+ax+bx+100. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=15 ab=-100=-100$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Δεδομένου ότι a+b είναι θετικός, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από τη αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -100.

$$-1,100 -2,50 -4,25 -5,20 -10,10$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+100=99 -2+50=48 -4+25=21 -5+20=15 -10+10=0$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 15.

$$a=20 b=-5$$

Γράψτε πάλι το -x^{2}+15x+100 ως \left(-x^{2}+20x\right)+\left(-5x+100\right).

$$\left(-x^{2}+20x\right)+\left(-5x+100\right)$$

Παραγοντοποιήστε -x στο πρώτο και στο -5 της δεύτερης ομάδας.

$$-x\left(x-20\right)-5\left(x-20\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-20 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-20\right)\left(-x-5\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x-20=0 και -x-5=0.

$$x=20 x=-5$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με οποιαδήποτε από τις τιμές -10,10 επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το 15\left(x-10\right)\left(x+10\right), δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των x^{2}-100,15.

$$15\times 2x=2\left(x-10\right)\left(x+10\right)$$

Πολλαπλασιάστε 15 και 2 για να λάβετε 30.

$$30x=2\left(x-10\right)\left(x+10\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 2 με το x-10.

$$30x=\left(2x-20\right)\left(x+10\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 2x-20 με το x+10 και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$30x=2x^{2}-200$$

Αφαιρέστε 2x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$30x-2x^{2}=-200$$

Προσθήκη 200 και στις δύο πλευρές.

$$30x-2x^{2}+200=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$-2x^{2}+30x+200=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με -2, το b με 30 και το c με 200 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-30±\sqrt{30^{2}-4\left(-2\right)\times 200}}{2\left(-2\right)}$$

Υψώστε το 30 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-4\left(-2\right)\times 200}}{2\left(-2\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί -2.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900+8\times 200}}{2\left(-2\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 8 επί 200.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900+1600}}{2\left(-2\right)}$$

Προσθέστε το 900 και το 1600.

$$x=\frac{-30±\sqrt{2500}}{2\left(-2\right)}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 2500.

$$x=\frac{-30±50}{2\left(-2\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί -2.

$$x=\frac{-30±50}{-4}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-30±50}{-4} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -30 και το 50.

$$x=\frac{20}{-4}$$

Διαιρέστε το 20 με το -4.

$$x=-5$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-30±50}{-4} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 50 από -30.

$$x=-\frac{80}{-4}$$

Διαιρέστε το -80 με το -4.

$$x=20$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=-5 x=20$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με οποιαδήποτε από τις τιμές -10,10 επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το 15\left(x-10\right)\left(x+10\right), δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των x^{2}-100,15.

$$15\times 2x=2\left(x-10\right)\left(x+10\right)$$

Πολλαπλασιάστε 15 και 2 για να λάβετε 30.

$$30x=2\left(x-10\right)\left(x+10\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 2 με το x-10.

$$30x=\left(2x-20\right)\left(x+10\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 2x-20 με το x+10 και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$30x=2x^{2}-200$$

Αφαιρέστε 2x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$30x-2x^{2}=-200$$

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$-2x^{2}+30x=-200$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με -2.

$$\frac{-2x^{2}+30x}{-2}=-\frac{200}{-2}$$

Η διαίρεση με το -2 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το -2.

$$x^{2}+\frac{30}{-2}x=-\frac{200}{-2}$$

Διαιρέστε το 30 με το -2.

$$x^{2}-15x=-\frac{200}{-2}$$

Διαιρέστε το -200 με το -2.

$$x^{2}-15x=100$$

Διαιρέστε το -15, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{15}{2}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{15}{2} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-15x+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}=100+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{15}{2} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}-15x+\frac{225}{4}=100+\frac{225}{4}$$

Προσθέστε το 100 και το \frac{225}{4}.

$$x^{2}-15x+\frac{225}{4}=\frac{625}{4}$$

Παραγον x^{2}-15x+\frac{225}{4}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{15}{2}\right)^{2}=\frac{625}{4}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-\frac{15}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{625}{4}}$$

Απλοποιήστε.

$$x-\frac{15}{2}=\frac{25}{2} x-\frac{15}{2}=-\frac{25}{2}$$

Προσθέστε \frac{15}{2} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=20 x=-5$$