Επίλυση 2x+3/x=x+4/x-2

$$\frac { 2 x + 3 } { x } = \frac { x + 4 } { x - 2 }$$

Λύση ως προς x

$$x=-1$$

$$x=6$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με οποιαδήποτε από τις τιμές 0,2 επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το x\left(x-2\right), δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των x,x-2.

$$\left(x-2\right)\left(2x+3\right)=x\left(x+4\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x-2 με το 2x+3 και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$2x^{2}-x-6=x\left(x+4\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x με το x+4.

$$2x^{2}-x-6=x^{2}+4x$$

Αφαιρέστε x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$2x^{2}-x-6-x^{2}=4x$$

Συνδυάστε το 2x^{2} και το -x^{2} για να λάβετε x^{2}.

$$x^{2}-x-6=4x$$

Αφαιρέστε 4x και από τις δύο πλευρές.

$$x^{2}-x-6-4x=0$$

Συνδυάστε το -x και το -4x για να λάβετε -5x.

$$x^{2}-5x-6=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε x^{2}-5x-6 χρησιμοποιώντας τον τύπο x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-5 ab=-6$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, ο αρνητικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από το θετικό. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -6.

$$1,-6 2,-3$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1-6=-5 2-3=-1$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -5.

$$a=-6 b=1$$

Επανεγγραφή παραγοντοποιηθεί παράστασης \left(x+a\right)\left(x+b\right) χρησιμοποιώντας τις τιμές που έχουν ληφθεί.

$$\left(x-6\right)\left(x+1\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x-6=0 και x+1=0.

$$x=6 x=-1$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με οποιαδήποτε από τις τιμές 0,2 επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το x\left(x-2\right), δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των x,x-2.

$$\left(x-2\right)\left(2x+3\right)=x\left(x+4\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x-2 με το 2x+3 και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$2x^{2}-x-6=x\left(x+4\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x με το x+4.

$$2x^{2}-x-6=x^{2}+4x$$

Αφαιρέστε x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$2x^{2}-x-6-x^{2}=4x$$

Συνδυάστε το 2x^{2} και το -x^{2} για να λάβετε x^{2}.

$$x^{2}-x-6=4x$$

Αφαιρέστε 4x και από τις δύο πλευρές.

$$x^{2}-x-6-4x=0$$

Συνδυάστε το -x και το -4x για να λάβετε -5x.

$$x^{2}-5x-6=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως x^{2}+ax+bx-6. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-5 ab=1\left(-6\right)=-6$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, ο αρνητικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από το θετικό. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -6.

$$1,-6 2,-3$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1-6=-5 2-3=-1$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -5.

$$a=-6 b=1$$

Γράψτε πάλι το x^{2}-5x-6 ως \left(x^{2}-6x\right)+\left(x-6\right).

$$\left(x^{2}-6x\right)+\left(x-6\right)$$

Παραγοντοποιήστε το x στην εξίσωση x^{2}-6x.

$$x\left(x-6\right)+x-6$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-6 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-6\right)\left(x+1\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x-6=0 και x+1=0.

$$x=6 x=-1$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με οποιαδήποτε από τις τιμές 0,2 επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το x\left(x-2\right), δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των x,x-2.

$$\left(x-2\right)\left(2x+3\right)=x\left(x+4\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x-2 με το 2x+3 και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$2x^{2}-x-6=x\left(x+4\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x με το x+4.

$$2x^{2}-x-6=x^{2}+4x$$

Αφαιρέστε x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$2x^{2}-x-6-x^{2}=4x$$

Συνδυάστε το 2x^{2} και το -x^{2} για να λάβετε x^{2}.

$$x^{2}-x-6=4x$$

Αφαιρέστε 4x και από τις δύο πλευρές.

$$x^{2}-x-6-4x=0$$

Συνδυάστε το -x και το -4x για να λάβετε -5x.

$$x^{2}-5x-6=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 1, το b με -5 και το c με -6 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\left(-6\right)}}{2}$$

Υψώστε το -5 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\left(-6\right)}}{2}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί -6.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+24}}{2}$$

Προσθέστε το 25 και το 24.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{49}}{2}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 49.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±7}{2}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -5 είναι 5.

$$x=\frac{5±7}{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{5±7}{2} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 5 και το 7.

$$x=\frac{12}{2}$$

Διαιρέστε το 12 με το 2.

$$x=6$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{5±7}{2} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 7 από 5.

$$x=-\frac{2}{2}$$

Διαιρέστε το -2 με το 2.

$$x=-1$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=6 x=-1$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με οποιαδήποτε από τις τιμές 0,2 επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το x\left(x-2\right), δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των x,x-2.

$$\left(x-2\right)\left(2x+3\right)=x\left(x+4\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x-2 με το 2x+3 και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$2x^{2}-x-6=x\left(x+4\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x με το x+4.

$$2x^{2}-x-6=x^{2}+4x$$

Αφαιρέστε x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$2x^{2}-x-6-x^{2}=4x$$

Συνδυάστε το 2x^{2} και το -x^{2} για να λάβετε x^{2}.

$$x^{2}-x-6=4x$$

Αφαιρέστε 4x και από τις δύο πλευρές.

$$x^{2}-x-6-4x=0$$

Συνδυάστε το -x και το -4x για να λάβετε -5x.

$$x^{2}-5x-6=0$$

Προσθήκη 6 και στις δύο πλευρές. Το άθροισμα οποιουδήποτε αριθμού με το μηδέν ισούται με τον ίδιο αριθμό.

$$x^{2}-5x=6$$

Διαιρέστε το -5, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{5}{2}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{5}{2} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-5x+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=6+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{5}{2} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=6+\frac{25}{4}$$

Προσθέστε το 6 και το \frac{25}{4}.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=\frac{49}{4}$$

Παραγον x^{2}-5x+\frac{25}{4}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{49}{4}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{4}}$$

Απλοποιήστε.

$$x-\frac{5}{2}=\frac{7}{2} x-\frac{5}{2}=-\frac{7}{2}$$

Προσθέστε \frac{5}{2} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=6 x=-1$$