Επίλυση 2/x+2/x+1=3

$$\frac { 2 } { x } + \frac { 2 } { x + 1 } = 3$$

Λύση ως προς x

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0,666666667$$

$$x=1$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με οποιαδήποτε από τις τιμές -1,0 επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το x\left(x+1\right), δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των x,x+1.

$$\left(x+1\right)\times 2+x\times 2=3x\left(x+1\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x+1 με το 2.

$$2x+2+x\times 2=3x\left(x+1\right)$$

Συνδυάστε το 2x και το x\times 2 για να λάβετε 4x.

$$4x+2=3x\left(x+1\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 3x με το x+1.

$$4x+2=3x^{2}+3x$$

Αφαιρέστε 3x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$4x+2-3x^{2}=3x$$

Αφαιρέστε 3x και από τις δύο πλευρές.

$$4x+2-3x^{2}-3x=0$$

Συνδυάστε το 4x και το -3x για να λάβετε x.

$$x+2-3x^{2}=0$$

Αναδιατάξτε το πολυώνυμο για να το θέσετε σε τυπική μορφή. Τοποθετήστε τους όρους με τη σειρά, από τη μεγαλύτερη προς τη μικρότερη δύναμη.

$$-3x^{2}+x+2=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως -3x^{2}+ax+bx+2. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα που θα επιλυθεί.

$$a+b=1 ab=-3\times 2=-6$$

Δεδομένου ότι η ab είναι αρνητική, a και b έχουν τα αντίθετα σημάδια. Επειδή η a+b είναι θετική, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από την αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -6.

$$-1,6 -2,3$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+6=5 -2+3=1$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 1.

$$a=3 b=-2$$

Γράψτε πάλι το -3x^{2}+x+2 ως \left(-3x^{2}+3x\right)+\left(-2x+2\right).

$$\left(-3x^{2}+3x\right)+\left(-2x+2\right)$$

Παραγοντοποιήστε το 3x στην πρώτη και το 2 στη δεύτερη ομάδα.

$$3x\left(-x+1\right)+2\left(-x+1\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο -x+1 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(-x+1\right)\left(3x+2\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, λύστε -x+1=0 και 3x+2=0.

$$x=1 x=-\frac{2}{3}$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με οποιαδήποτε από τις τιμές -1,0 επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το x\left(x+1\right), δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των x,x+1.

$$\left(x+1\right)\times 2+x\times 2=3x\left(x+1\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x+1 με το 2.

$$2x+2+x\times 2=3x\left(x+1\right)$$

Συνδυάστε το 2x και το x\times 2 για να λάβετε 4x.

$$4x+2=3x\left(x+1\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 3x με το x+1.

$$4x+2=3x^{2}+3x$$

Αφαιρέστε 3x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$4x+2-3x^{2}=3x$$

Αφαιρέστε 3x και από τις δύο πλευρές.

$$4x+2-3x^{2}-3x=0$$

Συνδυάστε το 4x και το -3x για να λάβετε x.

$$x+2-3x^{2}=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$-3x^{2}+x+2=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με -3, το b με 1 και το c με 2 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-3\right)\times 2}}{2\left(-3\right)}$$

Υψώστε το 1 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-3\right)\times 2}}{2\left(-3\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί -3.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+12\times 2}}{2\left(-3\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 12 επί 2.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+24}}{2\left(-3\right)}$$

Προσθέστε το 1 και το 24.

$$x=\frac{-1±\sqrt{25}}{2\left(-3\right)}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 25.

$$x=\frac{-1±5}{2\left(-3\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί -3.

$$x=\frac{-1±5}{-6}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-1±5}{-6} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -1 και το 5.

$$x=\frac{4}{-6}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{4}{-6} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$x=-\frac{2}{3}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-1±5}{-6} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 5 από -1.

$$x=-\frac{6}{-6}$$

Διαιρέστε το -6 με το -6.

$$x=1$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=-\frac{2}{3} x=1$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με οποιαδήποτε από τις τιμές -1,0 επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το x\left(x+1\right), δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των x,x+1.

$$\left(x+1\right)\times 2+x\times 2=3x\left(x+1\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x+1 με το 2.

$$2x+2+x\times 2=3x\left(x+1\right)$$

Συνδυάστε το 2x και το x\times 2 για να λάβετε 4x.

$$4x+2=3x\left(x+1\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 3x με το x+1.

$$4x+2=3x^{2}+3x$$

Αφαιρέστε 3x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$4x+2-3x^{2}=3x$$

Αφαιρέστε 3x και από τις δύο πλευρές.

$$4x+2-3x^{2}-3x=0$$

Συνδυάστε το 4x και το -3x για να λάβετε x.

$$x+2-3x^{2}=0$$

Αφαιρέστε 2 και από τις δύο πλευρές. Το υπόλοιπο της αφαίρεσης οποιουδήποτε αριθμού από το μηδέν ισούται με τον αντίστοιχο αρνητικό αριθμό.

$$x-3x^{2}=-2$$

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$-3x^{2}+x=-2$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με -3.

$$\frac{-3x^{2}+x}{-3}=-\frac{2}{-3}$$

Η διαίρεση με το -3 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το -3.

$$x^{2}+\frac{1}{-3}x=-\frac{2}{-3}$$

Διαιρέστε το 1 με το -3.

$$x^{2}-\frac{1}{3}x=-\frac{2}{-3}$$

Διαιρέστε το -2 με το -3.

$$x^{2}-\frac{1}{3}x=\frac{2}{3}$$

Διαιρέστε το -\frac{1}{3}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{1}{6}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{1}{6} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-\frac{1}{3}x+\left(-\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{2}{3}+\left(-\frac{1}{6}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{1}{6} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}-\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=\frac{2}{3}+\frac{1}{36}$$

Προσθέστε το \frac{2}{3} και το \frac{1}{36} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}-\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=\frac{25}{36}$$

Παραγοντοποιήστε το x^{2}-\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποιηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{25}{36}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{36}}$$

Απλοποιήστε.

$$x-\frac{1}{6}=\frac{5}{6} x-\frac{1}{6}=-\frac{5}{6}$$

Προσθέστε \frac{1}{6} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=1 x=-\frac{2}{3}$$