Επίλυση 2/x^2-3x+2+1/x^2+3x+2=4/x^2-4

$$\frac { 2 } { x ^ { 2 } - 3 x + 2 } + \frac { 1 } { x ^ { 2 } + 3 x + 2 } = \frac { 4 } { x ^ { 2 } - 4 }$$

Λύση ως προς x

$$x=5$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με οποιαδήποτε από τις τιμές -2,-1,1,2 επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το \left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x+2\right), δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των x^{2}-3x+2,x^{2}+3x+2,x^{2}-4.

$$\left(x+2\right)\left(x+1\right)\times 2+\left(x-2\right)\left(x-1\right)=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x+2 με το x+1 και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$\left(x^{2}+3x+2\right)\times 2+\left(x-2\right)\left(x-1\right)=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x^{2}+3x+2 με το 2.

$$2x^{2}+6x+4+\left(x-2\right)\left(x-1\right)=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x-2 με το x-1 και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$2x^{2}+6x+4+x^{2}-3x+2=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

Συνδυάστε το 2x^{2} και το x^{2} για να λάβετε 3x^{2}.

$$3x^{2}+6x+4-3x+2=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

Συνδυάστε το 6x και το -3x για να λάβετε 3x.

$$3x^{2}+3x+4+2=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

Προσθέστε 4 και 2 για να λάβετε 6.

$$3x^{2}+3x+6=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x^{2}-1 με το 4.

$$3x^{2}+3x+6=4x^{2}-4$$

Αφαιρέστε 4x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$3x^{2}+3x+6-4x^{2}=-4$$

Συνδυάστε το 3x^{2} και το -4x^{2} για να λάβετε -x^{2}.

$$-x^{2}+3x+6=-4$$

Προσθήκη 4 και στις δύο πλευρές.

$$-x^{2}+3x+6+4=0$$

Προσθέστε 6 και 4 για να λάβετε 10.

$$-x^{2}+3x+10=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως -x^{2}+ax+bx+10. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα που θα επιλυθεί.

$$a+b=3 ab=-10=-10$$

Δεδομένου ότι η ab είναι αρνητική, a και b έχουν τα αντίθετα σημάδια. Επειδή η a+b είναι θετική, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από την αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -10.

$$-1,10 -2,5$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+10=9 -2+5=3$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 3.

$$a=5 b=-2$$

Γράψτε πάλι το -x^{2}+3x+10 ως \left(-x^{2}+5x\right)+\left(-2x+10\right).

$$\left(-x^{2}+5x\right)+\left(-2x+10\right)$$

Παραγοντοποιήστε το -x στην πρώτη και το -2 στη δεύτερη ομάδα.

$$-x\left(x-5\right)-2\left(x-5\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-5 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-5\right)\left(-x-2\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, λύστε x-5=0 και -x-2=0.

$$x=5 x=-2$$

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με -2.

$$x=5$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με οποιαδήποτε από τις τιμές -2,-1,1,2 επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το \left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x+2\right), δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των x^{2}-3x+2,x^{2}+3x+2,x^{2}-4.

$$\left(x+2\right)\left(x+1\right)\times 2+\left(x-2\right)\left(x-1\right)=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x+2 με το x+1 και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$\left(x^{2}+3x+2\right)\times 2+\left(x-2\right)\left(x-1\right)=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x^{2}+3x+2 με το 2.

$$2x^{2}+6x+4+\left(x-2\right)\left(x-1\right)=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x-2 με το x-1 και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$2x^{2}+6x+4+x^{2}-3x+2=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

Συνδυάστε το 2x^{2} και το x^{2} για να λάβετε 3x^{2}.

$$3x^{2}+6x+4-3x+2=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

Συνδυάστε το 6x και το -3x για να λάβετε 3x.

$$3x^{2}+3x+4+2=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

Προσθέστε 4 και 2 για να λάβετε 6.

$$3x^{2}+3x+6=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x^{2}-1 με το 4.

$$3x^{2}+3x+6=4x^{2}-4$$

Αφαιρέστε 4x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$3x^{2}+3x+6-4x^{2}=-4$$

Συνδυάστε το 3x^{2} και το -4x^{2} για να λάβετε -x^{2}.

$$-x^{2}+3x+6=-4$$

Προσθήκη 4 και στις δύο πλευρές.

$$-x^{2}+3x+6+4=0$$

Προσθέστε 6 και 4 για να λάβετε 10.

$$-x^{2}+3x+10=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με -1, το b με 3 και το c με 10 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-1\right)\times 10}}{2\left(-1\right)}$$

Υψώστε το 3 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-1\right)\times 10}}{2\left(-1\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί -1.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+4\times 10}}{2\left(-1\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 4 επί 10.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+40}}{2\left(-1\right)}$$

Προσθέστε το 9 και το 40.

$$x=\frac{-3±\sqrt{49}}{2\left(-1\right)}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 49.

$$x=\frac{-3±7}{2\left(-1\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί -1.

$$x=\frac{-3±7}{-2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-3±7}{-2} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -3 και το 7.

$$x=\frac{4}{-2}$$

Διαιρέστε το 4 με το -2.

$$x=-2$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-3±7}{-2} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 7 από -3.

$$x=-\frac{10}{-2}$$

Διαιρέστε το -10 με το -2.

$$x=5$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=-2 x=5$$

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με -2.

$$x=5$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με οποιαδήποτε από τις τιμές -2,-1,1,2 επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το \left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x+2\right), δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των x^{2}-3x+2,x^{2}+3x+2,x^{2}-4.

$$\left(x+2\right)\left(x+1\right)\times 2+\left(x-2\right)\left(x-1\right)=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x+2 με το x+1 και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$\left(x^{2}+3x+2\right)\times 2+\left(x-2\right)\left(x-1\right)=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x^{2}+3x+2 με το 2.

$$2x^{2}+6x+4+\left(x-2\right)\left(x-1\right)=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x-2 με το x-1 και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$2x^{2}+6x+4+x^{2}-3x+2=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

Συνδυάστε το 2x^{2} και το x^{2} για να λάβετε 3x^{2}.

$$3x^{2}+6x+4-3x+2=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

Συνδυάστε το 6x και το -3x για να λάβετε 3x.

$$3x^{2}+3x+4+2=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

Προσθέστε 4 και 2 για να λάβετε 6.

$$3x^{2}+3x+6=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x^{2}-1 με το 4.

$$3x^{2}+3x+6=4x^{2}-4$$

Αφαιρέστε 4x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$3x^{2}+3x+6-4x^{2}=-4$$

Συνδυάστε το 3x^{2} και το -4x^{2} για να λάβετε -x^{2}.

$$-x^{2}+3x+6=-4$$

Αφαιρέστε 6 και από τις δύο πλευρές.

$$-x^{2}+3x=-4-6$$

Αφαιρέστε 6 από -4 για να λάβετε -10.

$$-x^{2}+3x=-10$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με -1.

$$\frac{-x^{2}+3x}{-1}=-\frac{10}{-1}$$

Η διαίρεση με το -1 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το -1.

$$x^{2}+\frac{3}{-1}x=-\frac{10}{-1}$$

Διαιρέστε το 3 με το -1.

$$x^{2}-3x=-\frac{10}{-1}$$

Διαιρέστε το -10 με το -1.

$$x^{2}-3x=10$$

Διαιρέστε το -3, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{3}{2}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{3}{2} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=10+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{3}{2} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=10+\frac{9}{4}$$

Προσθέστε το 10 και το \frac{9}{4}.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{49}{4}$$

Παραγοντοποιήστε το x^{2}-3x+\frac{9}{4}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποιηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{49}{4}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{4}}$$

Απλοποιήστε.

$$x-\frac{3}{2}=\frac{7}{2} x-\frac{3}{2}=-\frac{7}{2}$$

Προσθέστε \frac{3}{2} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=5 x=-2$$

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με -2.

$$x=5$$