Επίλυση frac{2sqrt{2}-3sqrt{7}}{2sqrt{2}+3sqrt{7}}=a+bsqrt{2}

$$\frac { 2 \sqrt { 2 } - 3 \sqrt { 7 } } { 2 \sqrt { 2 } + 3 \sqrt { 7 } } = a + b \sqrt { 2 }$$

Λύση ως προς b

$$b=-\frac{\sqrt{2}\left(55a+71-12\sqrt{14}\right)}{110}$$

Βήματα για την επίλυση γραμμικής εξίσωσης

Ρητοποιήστε τον παρονομαστή \frac{2\sqrt{2}-3\sqrt{7}}{2\sqrt{2}+3\sqrt{7}} πολλαπλασιάζοντας τον αριθμητή και τον παρονομαστή με 2\sqrt{2}-3\sqrt{7}.

$$\frac{\left(2\sqrt{2}-3\sqrt{7}\right)\left(2\sqrt{2}-3\sqrt{7}\right)}{\left(2\sqrt{2}+3\sqrt{7}\right)\left(2\sqrt{2}-3\sqrt{7}\right)}=a+b\sqrt{2}$$

Υπολογίστε \left(2\sqrt{2}+3\sqrt{7}\right)\left(2\sqrt{2}-3\sqrt{7}\right). Ο πολλαπλασιασμός μπορεί να μετατραπεί σε διαφορά τετραγώνων χρησιμοποιώντας τον κανόνα: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(2\sqrt{2}-3\sqrt{7}\right)\left(2\sqrt{2}-3\sqrt{7}\right)}{\left(2\sqrt{2}\right)^{2}-\left(3\sqrt{7}\right)^{2}}=a+b\sqrt{2}$$

Πολλαπλασιάστε 2\sqrt{2}-3\sqrt{7} και 2\sqrt{2}-3\sqrt{7} για να λάβετε \left(2\sqrt{2}-3\sqrt{7}\right)^{2}.

$$\frac{\left(2\sqrt{2}-3\sqrt{7}\right)^{2}}{\left(2\sqrt{2}\right)^{2}-\left(3\sqrt{7}\right)^{2}}=a+b\sqrt{2}$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(2\sqrt{2}-3\sqrt{7}\right)^{2}.

$$\frac{4\left(\sqrt{2}\right)^{2}-12\sqrt{2}\sqrt{7}+9\left(\sqrt{7}\right)^{2}}{\left(2\sqrt{2}\right)^{2}-\left(3\sqrt{7}\right)^{2}}=a+b\sqrt{2}$$

Το τετράγωνο του \sqrt{2} είναι 2.

$$\frac{4\times 2-12\sqrt{2}\sqrt{7}+9\left(\sqrt{7}\right)^{2}}{\left(2\sqrt{2}\right)^{2}-\left(3\sqrt{7}\right)^{2}}=a+b\sqrt{2}$$

Πολλαπλασιάστε 4 και 2 για να λάβετε 8.

$$\frac{8-12\sqrt{2}\sqrt{7}+9\left(\sqrt{7}\right)^{2}}{\left(2\sqrt{2}\right)^{2}-\left(3\sqrt{7}\right)^{2}}=a+b\sqrt{2}$$

Για να πολλαπλασιάστε \sqrt{2} και \sqrt{7}, πολλαπλασιάστε τους αριθμούς κάτω από την τετραγωνική ρίζα.

$$\frac{8-12\sqrt{14}+9\left(\sqrt{7}\right)^{2}}{\left(2\sqrt{2}\right)^{2}-\left(3\sqrt{7}\right)^{2}}=a+b\sqrt{2}$$

Το τετράγωνο του \sqrt{7} είναι 7.

$$\frac{8-12\sqrt{14}+9\times 7}{\left(2\sqrt{2}\right)^{2}-\left(3\sqrt{7}\right)^{2}}=a+b\sqrt{2}$$

Πολλαπλασιάστε 9 και 7 για να λάβετε 63.

$$\frac{8-12\sqrt{14}+63}{\left(2\sqrt{2}\right)^{2}-\left(3\sqrt{7}\right)^{2}}=a+b\sqrt{2}$$

Προσθέστε 8 και 63 για να λάβετε 71.

$$\frac{71-12\sqrt{14}}{\left(2\sqrt{2}\right)^{2}-\left(3\sqrt{7}\right)^{2}}=a+b\sqrt{2}$$

Αναπτύξτε το \left(2\sqrt{2}\right)^{2}.

$$\frac{71-12\sqrt{14}}{2^{2}\left(\sqrt{2}\right)^{2}-\left(3\sqrt{7}\right)^{2}}=a+b\sqrt{2}$$

Υπολογίστε το 2στη δύναμη του 2 και λάβετε 4.

$$\frac{71-12\sqrt{14}}{4\left(\sqrt{2}\right)^{2}-\left(3\sqrt{7}\right)^{2}}=a+b\sqrt{2}$$

Το τετράγωνο του \sqrt{2} είναι 2.

$$\frac{71-12\sqrt{14}}{4\times 2-\left(3\sqrt{7}\right)^{2}}=a+b\sqrt{2}$$

Πολλαπλασιάστε 4 και 2 για να λάβετε 8.

$$\frac{71-12\sqrt{14}}{8-\left(3\sqrt{7}\right)^{2}}=a+b\sqrt{2}$$

Αναπτύξτε το \left(3\sqrt{7}\right)^{2}.

$$\frac{71-12\sqrt{14}}{8-3^{2}\left(\sqrt{7}\right)^{2}}=a+b\sqrt{2}$$

Υπολογίστε το 3στη δύναμη του 2 και λάβετε 9.

$$\frac{71-12\sqrt{14}}{8-9\left(\sqrt{7}\right)^{2}}=a+b\sqrt{2}$$

Το τετράγωνο του \sqrt{7} είναι 7.

$$\frac{71-12\sqrt{14}}{8-9\times 7}=a+b\sqrt{2}$$

Πολλαπλασιάστε 9 και 7 για να λάβετε 63.

$$\frac{71-12\sqrt{14}}{8-63}=a+b\sqrt{2}$$

Αφαιρέστε 63 από 8 για να λάβετε -55.

$$\frac{71-12\sqrt{14}}{-55}=a+b\sqrt{2}$$

Πολλαπλασιάστε τόσο τον αριθμητή όσο και τον παρονομαστή με -1.

$$\frac{-71+12\sqrt{14}}{55}=a+b\sqrt{2}$$

Διαιρέστε κάθε όρο του -71+12\sqrt{14} με το 55 για να λάβετε -\frac{71}{55}+\frac{12}{55}\sqrt{14}.

$$-\frac{71}{55}+\frac{12}{55}\sqrt{14}=a+b\sqrt{2}$$

Κάντε εναλλαγή πλευρών έτσι ώστε όλοι οι μεταβλητοί όροι να βρίσκονται στην αριστερή πλευρά.

$$a+b\sqrt{2}=-\frac{71}{55}+\frac{12}{55}\sqrt{14}$$

Αφαιρέστε a και από τις δύο πλευρές.

$$b\sqrt{2}=-\frac{71}{55}+\frac{12}{55}\sqrt{14}-a$$

Η εξίσωση είναι σε τυπική μορφή.

$$\sqrt{2}b=-a+\frac{12\sqrt{14}}{55}-\frac{71}{55}$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με \sqrt{2}.

$$\frac{\sqrt{2}b}{\sqrt{2}}=\frac{-a+\frac{12\sqrt{14}}{55}-\frac{71}{55}}{\sqrt{2}}$$

Η διαίρεση με το \sqrt{2} αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το \sqrt{2}.

$$b=\frac{-a+\frac{12\sqrt{14}}{55}-\frac{71}{55}}{\sqrt{2}}$$

Διαιρέστε το -\frac{71}{55}+\frac{12\sqrt{14}}{55}-a με το \sqrt{2}.

$$b=\frac{\sqrt{2}\left(-55a+12\sqrt{14}-71\right)}{110}$$

Λύση ως προς a

$$a=-\frac{\left(2\sqrt{2}-3\sqrt{7}\right)\left(-3\sqrt{14}b-4b+2\sqrt{2}-3\sqrt{7}\right)}{55}$$