Επίλυση frac{2+sqrt{5}}{2-sqrt{5}}

$$\frac { 2 + \sqrt { 5 } } { 2 - \sqrt { 5 } }$$

Υπολογισμός

$$-4\sqrt{5}-9\approx -17,94427191$$

Βήματα λύσης

Ρητοποιήστε τον παρονομαστή \frac{2+\sqrt{5}}{2-\sqrt{5}} πολλαπλασιάζοντας τον αριθμητή και τον παρονομαστή με 2+\sqrt{5}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{\left(2-\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}$$

Υπολογίστε \left(2-\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right). Ο πολλαπλασιασμός μπορεί να μετατραπεί σε διαφορά τετραγώνων χρησιμοποιώντας τον κανόνα: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{2^{2}-\left(\sqrt{5}\right)^{2}}$$

Υψώστε το 2 στο τετράγωνο. Υψώστε το \sqrt{5} στο τετράγωνο.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{4-5}$$

Αφαιρέστε 5 από 4 για να λάβετε -1.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{-1}$$

Πολλαπλασιάστε 2+\sqrt{5} και 2+\sqrt{5} για να λάβετε \left(2+\sqrt{5}\right)^{2}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)^{2}}{-1}$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(2+\sqrt{5}\right)^{2}.

$$\frac{4+4\sqrt{5}+\left(\sqrt{5}\right)^{2}}{-1}$$

Το τετράγωνο του \sqrt{5} είναι 5.

$$\frac{4+4\sqrt{5}+5}{-1}$$

Προσθέστε 4 και 5 για να λάβετε 9.

$$\frac{9+4\sqrt{5}}{-1}$$

Οτιδήποτε διαιρείται με το -1 δίνει το αντίθετό του. Για να βρείτε τον αντίθετο του 9+4\sqrt{5}, βρείτε τον αντίθετο κάθε όρου.

$$-9-4\sqrt{5}$$