Επίλυση 168/x-168/x+14=1

$$\frac { 168 } { x } - \frac { 168 } { x + 14 } = 1$$

Λύση ως προς x

$$x=-56$$

$$x=42$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με οποιαδήποτε από τις τιμές -14,0 επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το x\left(x+14\right), δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των x,x+14.

$$\left(x+14\right)\times 168-x\times 168=x\left(x+14\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x+14 με το 168.

$$168x+2352-x\times 168=x\left(x+14\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x με το x+14.

$$168x+2352-x\times 168=x^{2}+14x$$

Αφαιρέστε x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$168x+2352-x\times 168-x^{2}=14x$$

Αφαιρέστε 14x και από τις δύο πλευρές.

$$168x+2352-x\times 168-x^{2}-14x=0$$

Συνδυάστε το 168x και το -14x για να λάβετε 154x.

$$154x+2352-x\times 168-x^{2}=0$$

Πολλαπλασιάστε -1 και 168 για να λάβετε -168.

$$154x+2352-168x-x^{2}=0$$

Συνδυάστε το 154x και το -168x για να λάβετε -14x.

$$-14x+2352-x^{2}=0$$

Αναδιατάξτε το πολυώνυμο για να το θέσετε σε τυπική μορφή. Τοποθετήστε τους όρους με τη σειρά, από τη μεγαλύτερη προς τη μικρότερη δύναμη.

$$-x^{2}-14x+2352=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως -x^{2}+ax+bx+2352. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-14 ab=-2352=-2352$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, ο αρνητικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από το θετικό. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -2352.

$$1,-2352 2,-1176 3,-784 4,-588 6,-392 7,-336 8,-294 12,-196 14,-168 16,-147 21,-112 24,-98 28,-84 42,-56 48,-49$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1-2352=-2351 2-1176=-1174 3-784=-781 4-588=-584 6-392=-386 7-336=-329 8-294=-286 12-196=-184 14-168=-154 16-147=-131 21-112=-91 24-98=-74 28-84=-56 42-56=-14 48-49=-1$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -14.

$$a=42 b=-56$$

Γράψτε πάλι το -x^{2}-14x+2352 ως \left(-x^{2}+42x\right)+\left(-56x+2352\right).

$$\left(-x^{2}+42x\right)+\left(-56x+2352\right)$$

Παραγοντοποιήστε x στο πρώτο και στο 56 της δεύτερης ομάδας.

$$x\left(-x+42\right)+56\left(-x+42\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο -x+42 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(-x+42\right)\left(x+56\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε -x+42=0 και x+56=0.

$$x=42 x=-56$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με οποιαδήποτε από τις τιμές -14,0 επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το x\left(x+14\right), δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των x,x+14.

$$\left(x+14\right)\times 168-x\times 168=x\left(x+14\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x+14 με το 168.

$$168x+2352-x\times 168=x\left(x+14\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x με το x+14.

$$168x+2352-x\times 168=x^{2}+14x$$

Αφαιρέστε x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$168x+2352-x\times 168-x^{2}=14x$$

Αφαιρέστε 14x και από τις δύο πλευρές.

$$168x+2352-x\times 168-x^{2}-14x=0$$

Συνδυάστε το 168x και το -14x για να λάβετε 154x.

$$154x+2352-x\times 168-x^{2}=0$$

Πολλαπλασιάστε -1 και 168 για να λάβετε -168.

$$154x+2352-168x-x^{2}=0$$

Συνδυάστε το 154x και το -168x για να λάβετε -14x.

$$-14x+2352-x^{2}=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$-x^{2}-14x+2352=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με -1, το b με -14 και το c με 2352 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\left(-1\right)\times 2352}}{2\left(-1\right)}$$

Υψώστε το -14 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\left(-1\right)\times 2352}}{2\left(-1\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί -1.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196+4\times 2352}}{2\left(-1\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 4 επί 2352.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196+9408}}{2\left(-1\right)}$$

Προσθέστε το 196 και το 9408.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{9604}}{2\left(-1\right)}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 9604.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±98}{2\left(-1\right)}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -14 είναι 14.

$$x=\frac{14±98}{2\left(-1\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί -1.

$$x=\frac{14±98}{-2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{14±98}{-2} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 14 και το 98.

$$x=\frac{112}{-2}$$

Διαιρέστε το 112 με το -2.

$$x=-56$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{14±98}{-2} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 98 από 14.

$$x=-\frac{84}{-2}$$

Διαιρέστε το -84 με το -2.

$$x=42$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=-56 x=42$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με οποιαδήποτε από τις τιμές -14,0 επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το x\left(x+14\right), δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των x,x+14.

$$\left(x+14\right)\times 168-x\times 168=x\left(x+14\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x+14 με το 168.

$$168x+2352-x\times 168=x\left(x+14\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x με το x+14.

$$168x+2352-x\times 168=x^{2}+14x$$

Αφαιρέστε x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$168x+2352-x\times 168-x^{2}=14x$$

Αφαιρέστε 14x και από τις δύο πλευρές.

$$168x+2352-x\times 168-x^{2}-14x=0$$

Συνδυάστε το 168x και το -14x για να λάβετε 154x.

$$154x+2352-x\times 168-x^{2}=0$$

Αφαιρέστε 2352 και από τις δύο πλευρές. Το υπόλοιπο της αφαίρεσης οποιουδήποτε αριθμού από το μηδέν ισούται με τον αντίστοιχο αρνητικό αριθμό.

$$154x-x\times 168-x^{2}=-2352$$

Πολλαπλασιάστε -1 και 168 για να λάβετε -168.

$$154x-168x-x^{2}=-2352$$

Συνδυάστε το 154x και το -168x για να λάβετε -14x.

$$-14x-x^{2}=-2352$$

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}-14x=-2352$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με -1.

$$\frac{-x^{2}-14x}{-1}=-\frac{2352}{-1}$$

Η διαίρεση με το -1 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το -1.

$$x^{2}+\left(-\frac{14}{-1}\right)x=-\frac{2352}{-1}$$

Διαιρέστε το -14 με το -1.

$$x^{2}+14x=-\frac{2352}{-1}$$

Διαιρέστε το -2352 με το -1.

$$x^{2}+14x=2352$$

Διαιρέστε το 14, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε 7. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του 7 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}+14x+7^{2}=2352+7^{2}$$

Υψώστε το 7 στο τετράγωνο.

$$x^{2}+14x+49=2352+49$$

Προσθέστε το 2352 και το 49.

$$x^{2}+14x+49=2401$$

Παραγον x^{2}+14x+49. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+7\right)^{2}=2401$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x+7\right)^{2}}=\sqrt{2401}$$

Απλοποιήστε.

$$x+7=49 x+7=-49$$

Αφαιρέστε 7 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=42 x=-56$$