Επίλυση 16/x^2-9+4/x^2-5x+6-5(x+2)/6-x-x^2=0

$$\frac { 16 } { x ^ { 2 } - 9 } + \frac { 4 } { x ^ { 2 } - 5 x + 6 } - \frac { 5 ( x + 2 ) } { 6 - x - x ^ { 2 } } = 0$$

Λύση ως προς x

$$x=-5$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με οποιαδήποτε από τις τιμές -3,2,3 επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το \left(x-3\right)\left(x-2\right)\left(x+3\right), δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των x^{2}-9,x^{2}-5x+6,6-x-x^{2}.

$$\left(x-2\right)\times 16+\left(x+3\right)\times 4-\left(3-x\right)\times 5\left(x+2\right)=0$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x-2 με το 16.

$$16x-32+\left(x+3\right)\times 4-\left(3-x\right)\times 5\left(x+2\right)=0$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x+3 με το 4.

$$16x-32+4x+12-\left(3-x\right)\times 5\left(x+2\right)=0$$

Συνδυάστε το 16x και το 4x για να λάβετε 20x.

$$20x-32+12-\left(3-x\right)\times 5\left(x+2\right)=0$$

Προσθέστε -32 και 12 για να λάβετε -20.

$$20x-20-\left(3-x\right)\times 5\left(x+2\right)=0$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 3-x με το 5.

$$20x-20-\left(15-5x\right)\left(x+2\right)=0$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 15-5x με το x+2 και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$20x-20-\left(5x+30-5x^{2}\right)=0$$

Για να βρείτε τον αντίθετο του 5x+30-5x^{2}, βρείτε τον αντίθετο κάθε όρου.

$$20x-20-5x-30+5x^{2}=0$$

Συνδυάστε το 20x και το -5x για να λάβετε 15x.

$$15x-20-30+5x^{2}=0$$

Αφαιρέστε 30 από -20 για να λάβετε -50.

$$15x-50+5x^{2}=0$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 5.

$$3x-10+x^{2}=0$$

Αναδιατάξτε το πολυώνυμο για να το θέσετε σε τυπική μορφή. Τοποθετήστε τους όρους με τη σειρά, από τη μεγαλύτερη προς τη μικρότερη δύναμη.

$$x^{2}+3x-10=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως x^{2}+ax+bx-10. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=3 ab=1\left(-10\right)=-10$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Δεδομένου ότι a+b είναι θετικός, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από τη αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -10.

$$-1,10 -2,5$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+10=9 -2+5=3$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 3.

$$a=-2 b=5$$

Γράψτε πάλι το x^{2}+3x-10 ως \left(x^{2}-2x\right)+\left(5x-10\right).

$$\left(x^{2}-2x\right)+\left(5x-10\right)$$

Παραγοντοποιήστε x στο πρώτο και στο 5 της δεύτερης ομάδας.

$$x\left(x-2\right)+5\left(x-2\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-2 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-2\right)\left(x+5\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x-2=0 και x+5=0.

$$x=2 x=-5$$

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με 2.

$$x=-5$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με οποιαδήποτε από τις τιμές -3,2,3 επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το \left(x-3\right)\left(x-2\right)\left(x+3\right), δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των x^{2}-9,x^{2}-5x+6,6-x-x^{2}.

$$\left(x-2\right)\times 16+\left(x+3\right)\times 4-\left(3-x\right)\times 5\left(x+2\right)=0$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x-2 με το 16.

$$16x-32+\left(x+3\right)\times 4-\left(3-x\right)\times 5\left(x+2\right)=0$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x+3 με το 4.

$$16x-32+4x+12-\left(3-x\right)\times 5\left(x+2\right)=0$$

Συνδυάστε το 16x και το 4x για να λάβετε 20x.

$$20x-32+12-\left(3-x\right)\times 5\left(x+2\right)=0$$

Προσθέστε -32 και 12 για να λάβετε -20.

$$20x-20-\left(3-x\right)\times 5\left(x+2\right)=0$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 3-x με το 5.

$$20x-20-\left(15-5x\right)\left(x+2\right)=0$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 15-5x με το x+2 και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$20x-20-\left(5x+30-5x^{2}\right)=0$$

Για να βρείτε τον αντίθετο του 5x+30-5x^{2}, βρείτε τον αντίθετο κάθε όρου.

$$20x-20-5x-30+5x^{2}=0$$

Συνδυάστε το 20x και το -5x για να λάβετε 15x.

$$15x-20-30+5x^{2}=0$$

Αφαιρέστε 30 από -20 για να λάβετε -50.

$$15x-50+5x^{2}=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$5x^{2}+15x-50=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 5, το b με 15 και το c με -50 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-15±\sqrt{15^{2}-4\times 5\left(-50\right)}}{2\times 5}$$

Υψώστε το 15 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-15±\sqrt{225-4\times 5\left(-50\right)}}{2\times 5}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 5.

$$x=\frac{-15±\sqrt{225-20\left(-50\right)}}{2\times 5}$$

Πολλαπλασιάστε το -20 επί -50.

$$x=\frac{-15±\sqrt{225+1000}}{2\times 5}$$

Προσθέστε το 225 και το 1000.

$$x=\frac{-15±\sqrt{1225}}{2\times 5}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 1225.

$$x=\frac{-15±35}{2\times 5}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 5.

$$x=\frac{-15±35}{10}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-15±35}{10} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -15 και το 35.

$$x=\frac{20}{10}$$

Διαιρέστε το 20 με το 10.

$$x=2$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-15±35}{10} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 35 από -15.

$$x=-\frac{50}{10}$$

Διαιρέστε το -50 με το 10.

$$x=-5$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=2 x=-5$$

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με 2.

$$x=-5$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με οποιαδήποτε από τις τιμές -3,2,3 επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το \left(x-3\right)\left(x-2\right)\left(x+3\right), δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των x^{2}-9,x^{2}-5x+6,6-x-x^{2}.

$$\left(x-2\right)\times 16+\left(x+3\right)\times 4-\left(3-x\right)\times 5\left(x+2\right)=0$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x-2 με το 16.

$$16x-32+\left(x+3\right)\times 4-\left(3-x\right)\times 5\left(x+2\right)=0$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x+3 με το 4.

$$16x-32+4x+12-\left(3-x\right)\times 5\left(x+2\right)=0$$

Συνδυάστε το 16x και το 4x για να λάβετε 20x.

$$20x-32+12-\left(3-x\right)\times 5\left(x+2\right)=0$$

Προσθέστε -32 και 12 για να λάβετε -20.

$$20x-20-\left(3-x\right)\times 5\left(x+2\right)=0$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 3-x με το 5.

$$20x-20-\left(15-5x\right)\left(x+2\right)=0$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 15-5x με το x+2 και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$20x-20-\left(5x+30-5x^{2}\right)=0$$

Για να βρείτε τον αντίθετο του 5x+30-5x^{2}, βρείτε τον αντίθετο κάθε όρου.

$$20x-20-5x-30+5x^{2}=0$$

Συνδυάστε το 20x και το -5x για να λάβετε 15x.

$$15x-20-30+5x^{2}=0$$

Αφαιρέστε 30 από -20 για να λάβετε -50.

$$15x-50+5x^{2}=0$$

Προσθήκη 50 και στις δύο πλευρές. Το άθροισμα οποιουδήποτε αριθμού με το μηδέν ισούται με τον ίδιο αριθμό.

$$15x+5x^{2}=50$$

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}+15x=50$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 5.

$$\frac{5x^{2}+15x}{5}=\frac{50}{5}$$

Η διαίρεση με το 5 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 5.

$$x^{2}+\frac{15}{5}x=\frac{50}{5}$$

Διαιρέστε το 15 με το 5.

$$x^{2}+3x=\frac{50}{5}$$

Διαιρέστε το 50 με το 5.

$$x^{2}+3x=10$$

Διαιρέστε το 3, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε \frac{3}{2}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του \frac{3}{2} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=10+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Υψώστε το \frac{3}{2} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=10+\frac{9}{4}$$

Προσθέστε το 10 και το \frac{9}{4}.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=\frac{49}{4}$$

Παραγον x^{2}+3x+\frac{9}{4}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{49}{4}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{4}}$$

Απλοποιήστε.

$$x+\frac{3}{2}=\frac{7}{2} x+\frac{3}{2}=-\frac{7}{2}$$

Αφαιρέστε \frac{3}{2} και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=2 x=-5$$

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με 2.

$$x=-5$$