Επίλυση 1500/x-1500/x+250=1/2

$$\frac { 1500 } { x } - \frac { 1500 } { x + 250 } = \frac { 1 } { 2 }$$

Λύση ως προς x

$$x=-1000$$

$$x=750$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με οποιαδήποτε από τις τιμές -250,0 επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το 2x\left(x+250\right), δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των x,x+250,2.

$$\left(2x+500\right)\times 1500-2x\times 1500=x\left(x+250\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 2x+500 με το 1500.

$$3000x+750000-2x\times 1500=x\left(x+250\right)$$

Πολλαπλασιάστε 2 και 1500 για να λάβετε 3000.

$$3000x+750000-3000x=x\left(x+250\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x με το x+250.

$$3000x+750000-3000x=x^{2}+250x$$

Αφαιρέστε x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$3000x+750000-3000x-x^{2}=250x$$

Αφαιρέστε 250x και από τις δύο πλευρές.

$$3000x+750000-3000x-x^{2}-250x=0$$

Συνδυάστε το 3000x και το -250x για να λάβετε 2750x.

$$2750x+750000-3000x-x^{2}=0$$

Συνδυάστε το 2750x και το -3000x για να λάβετε -250x.

$$-250x+750000-x^{2}=0$$

Αναδιατάξτε το πολυώνυμο για να το θέσετε σε τυπική μορφή. Τοποθετήστε τους όρους με τη σειρά, από τη μεγαλύτερη προς τη μικρότερη δύναμη.

$$-x^{2}-250x+750000=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως -x^{2}+ax+bx+750000. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-250 ab=-750000=-750000$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, ο αρνητικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από το θετικό. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -750000.

$$1,-750000 2,-375000 3,-250000 4,-187500 5,-150000 6,-125000 8,-93750 10,-75000 12,-62500 15,-50000 16,-46875 20,-37500 24,-31250 25,-30000 30,-25000 40,-18750 48,-15625 50,-15000 60,-12500 75,-10000 80,-9375 100,-7500 120,-6250 125,-6000 150,-5000 200,-3750 240,-3125 250,-3000 300,-2500 375,-2000 400,-1875 500,-1500 600,-1250 625,-1200 750,-1000$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1-750000=-749999 2-375000=-374998 3-250000=-249997 4-187500=-187496 5-150000=-149995 6-125000=-124994 8-93750=-93742 10-75000=-74990 12-62500=-62488 15-50000=-49985 16-46875=-46859 20-37500=-37480 24-31250=-31226 25-30000=-29975 30-25000=-24970 40-18750=-18710 48-15625=-15577 50-15000=-14950 60-12500=-12440 75-10000=-9925 80-9375=-9295 100-7500=-7400 120-6250=-6130 125-6000=-5875 150-5000=-4850 200-3750=-3550 240-3125=-2885 250-3000=-2750 300-2500=-2200 375-2000=-1625 400-1875=-1475 500-1500=-1000 600-1250=-650 625-1200=-575 750-1000=-250$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 250.

$$a=-750 b=1000$$

Γράψτε πάλι το -x^{2}-250x+750000 ως \left(-x^{2}-750x\right)+\left(1000x+750000\right).

$$\left(-x^{2}-750x\right)+\left(1000x+750000\right)$$

Παραγοντοποιήστε x στο πρώτο και στο 1000 της δεύτερης ομάδας.

$$x\left(x-750\right)+1000\left(x-750\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-750 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-750\right)\left(x+1000\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x-750=0 και x+1000=0.

$$x=750 x=-1000$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με οποιαδήποτε από τις τιμές -250,0 επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το 2x\left(x+250\right), δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των x,x+250,2.

$$\left(2x+500\right)\times 1500-2x\times 1500=x\left(x+250\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 2x+500 με το 1500.

$$3000x+750000-2x\times 1500=x\left(x+250\right)$$

Πολλαπλασιάστε 2 και 1500 για να λάβετε 3000.

$$3000x+750000-3000x=x\left(x+250\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x με το x+250.

$$3000x+750000-3000x=x^{2}+250x$$

Αφαιρέστε x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$3000x+750000-3000x-x^{2}=250x$$

Αφαιρέστε 250x και από τις δύο πλευρές.

$$3000x+750000-3000x-x^{2}-250x=0$$

Συνδυάστε το 3000x και το -250x για να λάβετε 2750x.

$$2750x+750000-3000x-x^{2}=0$$

Συνδυάστε το 2750x και το -3000x για να λάβετε -250x.

$$-250x+750000-x^{2}=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$-x^{2}-250x+750000=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με -1, το b με -250 και το c με 750000 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-250\right)±\sqrt{\left(-250\right)^{2}-4\left(-1\right)\times 750000}}{2\left(-1\right)}$$

Υψώστε το -250 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-250\right)±\sqrt{62500-4\left(-1\right)\times 750000}}{2\left(-1\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί -1.

$$x=\frac{-\left(-250\right)±\sqrt{62500+4\times 750000}}{2\left(-1\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 4 επί 750000.

$$x=\frac{-\left(-250\right)±\sqrt{62500+3000000}}{2\left(-1\right)}$$

Προσθέστε το 62500 και το 3000000.

$$x=\frac{-\left(-250\right)±\sqrt{3062500}}{2\left(-1\right)}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 3062500.

$$x=\frac{-\left(-250\right)±1750}{2\left(-1\right)}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -250 είναι 250.

$$x=\frac{250±1750}{2\left(-1\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί -1.

$$x=\frac{250±1750}{-2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{250±1750}{-2} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 250 και το 1750.

$$x=\frac{2000}{-2}$$

Διαιρέστε το 2000 με το -2.

$$x=-1000$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{250±1750}{-2} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 1750 από 250.

$$x=-\frac{1500}{-2}$$

Διαιρέστε το -1500 με το -2.

$$x=750$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=-1000 x=750$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με οποιαδήποτε από τις τιμές -250,0 επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το 2x\left(x+250\right), δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των x,x+250,2.

$$\left(2x+500\right)\times 1500-2x\times 1500=x\left(x+250\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 2x+500 με το 1500.

$$3000x+750000-2x\times 1500=x\left(x+250\right)$$

Πολλαπλασιάστε 2 και 1500 για να λάβετε 3000.

$$3000x+750000-3000x=x\left(x+250\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x με το x+250.

$$3000x+750000-3000x=x^{2}+250x$$

Αφαιρέστε x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$3000x+750000-3000x-x^{2}=250x$$

Αφαιρέστε 250x και από τις δύο πλευρές.

$$3000x+750000-3000x-x^{2}-250x=0$$

Συνδυάστε το 3000x και το -250x για να λάβετε 2750x.

$$2750x+750000-3000x-x^{2}=0$$

Αφαιρέστε 750000 και από τις δύο πλευρές. Το υπόλοιπο της αφαίρεσης οποιουδήποτε αριθμού από το μηδέν ισούται με τον αντίστοιχο αρνητικό αριθμό.

$$2750x-3000x-x^{2}=-750000$$

Συνδυάστε το 2750x και το -3000x για να λάβετε -250x.

$$-250x-x^{2}=-750000$$

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}-250x=-750000$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με -1.

$$\frac{-x^{2}-250x}{-1}=-\frac{750000}{-1}$$

Η διαίρεση με το -1 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το -1.

$$x^{2}+\left(-\frac{250}{-1}\right)x=-\frac{750000}{-1}$$

Διαιρέστε το -250 με το -1.

$$x^{2}+250x=-\frac{750000}{-1}$$

Διαιρέστε το -750000 με το -1.

$$x^{2}+250x=750000$$

Διαιρέστε το 250, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε 125. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του 125 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}+250x+125^{2}=750000+125^{2}$$

Υψώστε το 125 στο τετράγωνο.

$$x^{2}+250x+15625=750000+15625$$

Προσθέστε το 750000 και το 15625.

$$x^{2}+250x+15625=765625$$

Παραγον x^{2}+250x+15625. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+125\right)^{2}=765625$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x+125\right)^{2}}=\sqrt{765625}$$

Απλοποιήστε.

$$x+125=875 x+125=-875$$

Αφαιρέστε 125 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=750 x=-1000$$