Επίλυση 1-2x/x+7=x/x-1

$$\frac { 1 - 2 x } { x + 7 } = \frac { x } { x - 1 }$$

Λύση ως προς x

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0,333333333$$

$$x=-1$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με οποιαδήποτε από τις τιμές -7,1 επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το \left(x-1\right)\left(x+7\right), δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των x+7,x-1.

$$\left(x-1\right)\left(1-2x\right)=\left(x+7\right)x$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x-1 με το 1-2x και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$3x-2x^{2}-1=\left(x+7\right)x$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x+7 με το x.

$$3x-2x^{2}-1=x^{2}+7x$$

Αφαιρέστε x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$3x-2x^{2}-1-x^{2}=7x$$

Συνδυάστε το -2x^{2} και το -x^{2} για να λάβετε -3x^{2}.

$$3x-3x^{2}-1=7x$$

Αφαιρέστε 7x και από τις δύο πλευρές.

$$3x-3x^{2}-1-7x=0$$

Συνδυάστε το 3x και το -7x για να λάβετε -4x.

$$-4x-3x^{2}-1=0$$

Αναδιατάξτε το πολυώνυμο για να το θέσετε σε τυπική μορφή. Τοποθετήστε τους όρους με τη σειρά, από τη μεγαλύτερη προς τη μικρότερη δύναμη.

$$-3x^{2}-4x-1=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως -3x^{2}+ax+bx-1. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-4 ab=-3\left(-1\right)=3$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, το a και οι b είναι αρνητικά. Το μόνο τέτοιο ζεύγος είναι η λύση του συστήματος.

$$a=-1 b=-3$$

Γράψτε πάλι το -3x^{2}-4x-1 ως \left(-3x^{2}-x\right)+\left(-3x-1\right).

$$\left(-3x^{2}-x\right)+\left(-3x-1\right)$$

Παραγοντοποιήστε -x στο πρώτο και στο -1 της δεύτερης ομάδας.

$$-x\left(3x+1\right)-\left(3x+1\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 3x+1 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(3x+1\right)\left(-x-1\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε 3x+1=0 και -x-1=0.

$$x=-\frac{1}{3} x=-1$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με οποιαδήποτε από τις τιμές -7,1 επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το \left(x-1\right)\left(x+7\right), δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των x+7,x-1.

$$\left(x-1\right)\left(1-2x\right)=\left(x+7\right)x$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x-1 με το 1-2x και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$3x-2x^{2}-1=\left(x+7\right)x$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x+7 με το x.

$$3x-2x^{2}-1=x^{2}+7x$$

Αφαιρέστε x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$3x-2x^{2}-1-x^{2}=7x$$

Συνδυάστε το -2x^{2} και το -x^{2} για να λάβετε -3x^{2}.

$$3x-3x^{2}-1=7x$$

Αφαιρέστε 7x και από τις δύο πλευρές.

$$3x-3x^{2}-1-7x=0$$

Συνδυάστε το 3x και το -7x για να λάβετε -4x.

$$-4x-3x^{2}-1=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$-3x^{2}-4x-1=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με -3, το b με -4 και το c με -1 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\left(-3\right)\left(-1\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Υψώστε το -4 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\left(-3\right)\left(-1\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί -3.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+12\left(-1\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 12 επί -1.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-12}}{2\left(-3\right)}$$

Προσθέστε το 16 και το -12.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{4}}{2\left(-3\right)}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±2}{2\left(-3\right)}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -4 είναι 4.

$$x=\frac{4±2}{2\left(-3\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί -3.

$$x=\frac{4±2}{-6}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{4±2}{-6} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 4 και το 2.

$$x=\frac{6}{-6}$$

Διαιρέστε το 6 με το -6.

$$x=-1$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{4±2}{-6} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 2 από 4.

$$x=\frac{2}{-6}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{2}{-6} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$x=-\frac{1}{3}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=-1 x=-\frac{1}{3}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με οποιαδήποτε από τις τιμές -7,1 επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το \left(x-1\right)\left(x+7\right), δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των x+7,x-1.

$$\left(x-1\right)\left(1-2x\right)=\left(x+7\right)x$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x-1 με το 1-2x και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$3x-2x^{2}-1=\left(x+7\right)x$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x+7 με το x.

$$3x-2x^{2}-1=x^{2}+7x$$

Αφαιρέστε x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$3x-2x^{2}-1-x^{2}=7x$$

Συνδυάστε το -2x^{2} και το -x^{2} για να λάβετε -3x^{2}.

$$3x-3x^{2}-1=7x$$

Αφαιρέστε 7x και από τις δύο πλευρές.

$$3x-3x^{2}-1-7x=0$$

Συνδυάστε το 3x και το -7x για να λάβετε -4x.

$$-4x-3x^{2}-1=0$$

Προσθήκη 1 και στις δύο πλευρές. Το άθροισμα οποιουδήποτε αριθμού με το μηδέν ισούται με τον ίδιο αριθμό.

$$-4x-3x^{2}=1$$

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$-3x^{2}-4x=1$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με -3.

$$\frac{-3x^{2}-4x}{-3}=\frac{1}{-3}$$

Η διαίρεση με το -3 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το -3.

$$x^{2}+\left(-\frac{4}{-3}\right)x=\frac{1}{-3}$$

Διαιρέστε το -4 με το -3.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x=\frac{1}{-3}$$

Διαιρέστε το 1 με το -3.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x=-\frac{1}{3}$$

Διαιρέστε το \frac{4}{3}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε \frac{2}{3}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του \frac{2}{3} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}=-\frac{1}{3}+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Υψώστε το \frac{2}{3} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=-\frac{1}{3}+\frac{4}{9}$$

Προσθέστε το -\frac{1}{3} και το \frac{4}{9} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{1}{9}$$

Παραγον x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{1}{9}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x+\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{9}}$$

Απλοποιήστε.

$$x+\frac{2}{3}=\frac{1}{3} x+\frac{2}{3}=-\frac{1}{3}$$

Αφαιρέστε \frac{2}{3} και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=-\frac{1}{3} x=-1$$