Επίλυση 1/x-2-4/x^2-4=1

$$\frac { 1 } { x - 2 } - \frac { 4 } { x ^ { 2 } - 4 } = 1$$

Λύση ως προς x

$$x=-1$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με οποιαδήποτε από τις τιμές -2,2 επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το \left(x-2\right)\left(x+2\right), δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των x-2,x^{2}-4.

$$x+2-4=\left(x-2\right)\left(x+2\right)$$

Αφαιρέστε 4 από 2 για να λάβετε -2.

$$x-2=\left(x-2\right)\left(x+2\right)$$

Υπολογίστε \left(x-2\right)\left(x+2\right). Ο πολλαπλασιασμός μπορεί να μετατραπεί σε διαφορά τετραγώνων χρησιμοποιώντας τον κανόνα: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Υψώστε το 2 στο τετράγωνο.

$$x-2=x^{2}-4$$

Αφαιρέστε x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$x-2-x^{2}=-4$$

Προσθήκη 4 και στις δύο πλευρές.

$$x-2-x^{2}+4=0$$

Προσθέστε -2 και 4 για να λάβετε 2.

$$x+2-x^{2}=0$$

Αναδιατάξτε το πολυώνυμο για να το θέσετε σε τυπική μορφή. Τοποθετήστε τους όρους με τη σειρά, από τη μεγαλύτερη προς τη μικρότερη δύναμη.

$$-x^{2}+x+2=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως -x^{2}+ax+bx+2. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα που θα επιλυθεί.

$$a+b=1 ab=-2=-2$$

Δεδομένου ότι η ab είναι αρνητική, a και b έχουν τα αντίθετα σημάδια. Επειδή η a+b είναι θετική, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από την αρνητική. Το μόνο τέτοιο ζεύγος είναι η λύση του συστήματος.

$$a=2 b=-1$$

Γράψτε πάλι το -x^{2}+x+2 ως \left(-x^{2}+2x\right)+\left(-x+2\right).

$$\left(-x^{2}+2x\right)+\left(-x+2\right)$$

Παραγοντοποιήστε το -x στην πρώτη και το -1 στη δεύτερη ομάδα.

$$-x\left(x-2\right)-\left(x-2\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-2 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-2\right)\left(-x-1\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, λύστε x-2=0 και -x-1=0.

$$x=2 x=-1$$

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με 2.

$$x=-1$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με οποιαδήποτε από τις τιμές -2,2 επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το \left(x-2\right)\left(x+2\right), δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των x-2,x^{2}-4.

$$x+2-4=\left(x-2\right)\left(x+2\right)$$

Αφαιρέστε 4 από 2 για να λάβετε -2.

$$x-2=\left(x-2\right)\left(x+2\right)$$

Υπολογίστε \left(x-2\right)\left(x+2\right). Ο πολλαπλασιασμός μπορεί να μετατραπεί σε διαφορά τετραγώνων χρησιμοποιώντας τον κανόνα: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Υψώστε το 2 στο τετράγωνο.

$$x-2=x^{2}-4$$

Αφαιρέστε x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$x-2-x^{2}=-4$$

Προσθήκη 4 και στις δύο πλευρές.

$$x-2-x^{2}+4=0$$

Προσθέστε -2 και 4 για να λάβετε 2.

$$x+2-x^{2}=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$-x^{2}+x+2=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με -1, το b με 1 και το c με 2 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-1\right)\times 2}}{2\left(-1\right)}$$

Υψώστε το 1 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-1\right)\times 2}}{2\left(-1\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί -1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+4\times 2}}{2\left(-1\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 4 επί 2.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+8}}{2\left(-1\right)}$$

Προσθέστε το 1 και το 8.

$$x=\frac{-1±\sqrt{9}}{2\left(-1\right)}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 9.

$$x=\frac{-1±3}{2\left(-1\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί -1.

$$x=\frac{-1±3}{-2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-1±3}{-2} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -1 και το 3.

$$x=\frac{2}{-2}$$

Διαιρέστε το 2 με το -2.

$$x=-1$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-1±3}{-2} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 3 από -1.

$$x=-\frac{4}{-2}$$

Διαιρέστε το -4 με το -2.

$$x=2$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=-1 x=2$$

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με 2.

$$x=-1$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με οποιαδήποτε από τις τιμές -2,2 επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το \left(x-2\right)\left(x+2\right), δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των x-2,x^{2}-4.

$$x+2-4=\left(x-2\right)\left(x+2\right)$$

Αφαιρέστε 4 από 2 για να λάβετε -2.

$$x-2=\left(x-2\right)\left(x+2\right)$$

Υπολογίστε \left(x-2\right)\left(x+2\right). Ο πολλαπλασιασμός μπορεί να μετατραπεί σε διαφορά τετραγώνων χρησιμοποιώντας τον κανόνα: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Υψώστε το 2 στο τετράγωνο.

$$x-2=x^{2}-4$$

Αφαιρέστε x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$x-2-x^{2}=-4$$

Προσθήκη 2 και στις δύο πλευρές.

$$x-x^{2}=-4+2$$

Προσθέστε -4 και 2 για να λάβετε -2.

$$x-x^{2}=-2$$

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+x=-2$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με -1.

$$\frac{-x^{2}+x}{-1}=-\frac{2}{-1}$$

Η διαίρεση με το -1 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το -1.

$$x^{2}+\frac{1}{-1}x=-\frac{2}{-1}$$

Διαιρέστε το 1 με το -1.

$$x^{2}-x=-\frac{2}{-1}$$

Διαιρέστε το -2 με το -1.

$$x^{2}-x=2$$

Διαιρέστε το -1, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{1}{2}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{1}{2} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=2+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{1}{2} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=2+\frac{1}{4}$$

Προσθέστε το 2 και το \frac{1}{4}.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{9}{4}$$

Παραγοντοποιήστε το x^{2}-x+\frac{1}{4}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποιηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

Απλοποιήστε.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{3}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{3}{2}$$

Προσθέστε \frac{1}{2} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=2 x=-1$$

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με 2.

$$x=-1$$