Επίλυση 1/x-1+1/x-4=5/4

$$\frac { 1 } { x - 1 } + \frac { 1 } { x - 4 } = \frac { 5 } { 4 }$$

Λύση ως προς x

$$x=5$$

$$x = \frac{8}{5} = 1\frac{3}{5} = 1,6$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με οποιαδήποτε από τις τιμές 1,4 επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το 4\left(x-4\right)\left(x-1\right), δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των x-1,x-4,4.

$$4x-16+4x-4=5\left(x-4\right)\left(x-1\right)$$

Συνδυάστε το 4x και το 4x για να λάβετε 8x.

$$8x-16-4=5\left(x-4\right)\left(x-1\right)$$

Αφαιρέστε 4 από -16 για να λάβετε -20.

$$8x-20=5\left(x-4\right)\left(x-1\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 5 με το x-4.

$$8x-20=\left(5x-20\right)\left(x-1\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 5x-20 με το x-1 και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$8x-20=5x^{2}-25x+20$$

Αφαιρέστε 5x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$8x-20-5x^{2}=-25x+20$$

Προσθήκη 25x και στις δύο πλευρές.

$$8x-20-5x^{2}+25x=20$$

Συνδυάστε το 8x και το 25x για να λάβετε 33x.

$$33x-20-5x^{2}=20$$

Αφαιρέστε 20 και από τις δύο πλευρές.

$$33x-20-5x^{2}-20=0$$

Αφαιρέστε 20 από -20 για να λάβετε -40.

$$33x-40-5x^{2}=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$-5x^{2}+33x-40=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με -5, το b με 33 και το c με -40 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-33±\sqrt{33^{2}-4\left(-5\right)\left(-40\right)}}{2\left(-5\right)}$$

Υψώστε το 33 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-33±\sqrt{1089-4\left(-5\right)\left(-40\right)}}{2\left(-5\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί -5.

$$x=\frac{-33±\sqrt{1089+20\left(-40\right)}}{2\left(-5\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 20 επί -40.

$$x=\frac{-33±\sqrt{1089-800}}{2\left(-5\right)}$$

Προσθέστε το 1089 και το -800.

$$x=\frac{-33±\sqrt{289}}{2\left(-5\right)}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 289.

$$x=\frac{-33±17}{2\left(-5\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί -5.

$$x=\frac{-33±17}{-10}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-33±17}{-10} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -33 και το 17.

$$x=-\frac{16}{-10}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-16}{-10} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$x=\frac{8}{5}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-33±17}{-10} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 17 από -33.

$$x=-\frac{50}{-10}$$

Διαιρέστε το -50 με το -10.

$$x=5$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=\frac{8}{5} x=5$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με οποιαδήποτε από τις τιμές 1,4 επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το 4\left(x-4\right)\left(x-1\right), δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των x-1,x-4,4.

$$4x-16+4x-4=5\left(x-4\right)\left(x-1\right)$$

Συνδυάστε το 4x και το 4x για να λάβετε 8x.

$$8x-16-4=5\left(x-4\right)\left(x-1\right)$$

Αφαιρέστε 4 από -16 για να λάβετε -20.

$$8x-20=5\left(x-4\right)\left(x-1\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 5 με το x-4.

$$8x-20=\left(5x-20\right)\left(x-1\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 5x-20 με το x-1 και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$8x-20=5x^{2}-25x+20$$

Αφαιρέστε 5x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$8x-20-5x^{2}=-25x+20$$

Προσθήκη 25x και στις δύο πλευρές.

$$8x-20-5x^{2}+25x=20$$

Συνδυάστε το 8x και το 25x για να λάβετε 33x.

$$33x-20-5x^{2}=20$$

Προσθήκη 20 και στις δύο πλευρές.

$$33x-5x^{2}=20+20$$

Προσθέστε 20 και 20 για να λάβετε 40.

$$33x-5x^{2}=40$$

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$-5x^{2}+33x=40$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με -5.

$$\frac{-5x^{2}+33x}{-5}=\frac{40}{-5}$$

Η διαίρεση με το -5 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το -5.

$$x^{2}+\frac{33}{-5}x=\frac{40}{-5}$$

Διαιρέστε το 33 με το -5.

$$x^{2}-\frac{33}{5}x=\frac{40}{-5}$$

Διαιρέστε το 40 με το -5.

$$x^{2}-\frac{33}{5}x=-8$$

Διαιρέστε το -\frac{33}{5}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{33}{10}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{33}{10} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-\frac{33}{5}x+\left(-\frac{33}{10}\right)^{2}=-8+\left(-\frac{33}{10}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{33}{10} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}-\frac{33}{5}x+\frac{1089}{100}=-8+\frac{1089}{100}$$

Προσθέστε το -8 και το \frac{1089}{100}.

$$x^{2}-\frac{33}{5}x+\frac{1089}{100}=\frac{289}{100}$$

Παραγον x^{2}-\frac{33}{5}x+\frac{1089}{100}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{33}{10}\right)^{2}=\frac{289}{100}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-\frac{33}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{289}{100}}$$

Απλοποιήστε.

$$x-\frac{33}{10}=\frac{17}{10} x-\frac{33}{10}=-\frac{17}{10}$$

Προσθέστε \frac{33}{10} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=5 x=\frac{8}{5}$$