Επίλυση 1/x+4/x+1+1=15/x

$$\frac { 1 } { x } + \frac { 4 } { x + 1 } + 1 = \frac { 15 } { x }$$

Λύση ως προς x

$$x = \frac{\sqrt{137} + 9}{2} \approx 10,352349955$$

$$x=\frac{9-\sqrt{137}}{2}\approx -1,352349955$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με οποιαδήποτε από τις τιμές -1,0 επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το x\left(x+1\right), δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των x,x+1.

$$x+1+x\times 4+x\left(x+1\right)=\left(x+1\right)\times 15$$

Συνδυάστε το x και το x\times 4 για να λάβετε 5x.

$$5x+1+x\left(x+1\right)=\left(x+1\right)\times 15$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x με το x+1.

$$5x+1+x^{2}+x=\left(x+1\right)\times 15$$

Συνδυάστε το 5x και το x για να λάβετε 6x.

$$6x+1+x^{2}=\left(x+1\right)\times 15$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x+1 με το 15.

$$6x+1+x^{2}=15x+15$$

Αφαιρέστε 15x και από τις δύο πλευρές.

$$6x+1+x^{2}-15x=15$$

Συνδυάστε το 6x και το -15x για να λάβετε -9x.

$$-9x+1+x^{2}=15$$

Αφαιρέστε 15 και από τις δύο πλευρές.

$$-9x+1+x^{2}-15=0$$

Αφαιρέστε 15 από 1 για να λάβετε -14.

$$-9x-14+x^{2}=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$x^{2}-9x-14=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 1, το b με -9 και το c με -14 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\left(-14\right)}}{2}$$

Υψώστε το -9 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\left(-14\right)}}{2}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί -14.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81+56}}{2}$$

Προσθέστε το 81 και το 56.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{137}}{2}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -9 είναι 9.

$$x=\frac{9±\sqrt{137}}{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{9±\sqrt{137}}{2} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 9 και το \sqrt{137}.

$$x=\frac{\sqrt{137}+9}{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{9±\sqrt{137}}{2} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε \sqrt{137} από 9.

$$x=\frac{9-\sqrt{137}}{2}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=\frac{\sqrt{137}+9}{2} x=\frac{9-\sqrt{137}}{2}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με οποιαδήποτε από τις τιμές -1,0 επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το x\left(x+1\right), δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των x,x+1.

$$x+1+x\times 4+x\left(x+1\right)=\left(x+1\right)\times 15$$

Συνδυάστε το x και το x\times 4 για να λάβετε 5x.

$$5x+1+x\left(x+1\right)=\left(x+1\right)\times 15$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x με το x+1.

$$5x+1+x^{2}+x=\left(x+1\right)\times 15$$

Συνδυάστε το 5x και το x για να λάβετε 6x.

$$6x+1+x^{2}=\left(x+1\right)\times 15$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x+1 με το 15.

$$6x+1+x^{2}=15x+15$$

Αφαιρέστε 15x και από τις δύο πλευρές.

$$6x+1+x^{2}-15x=15$$

Συνδυάστε το 6x και το -15x για να λάβετε -9x.

$$-9x+1+x^{2}=15$$

Αφαιρέστε 1 και από τις δύο πλευρές.

$$-9x+x^{2}=15-1$$

Αφαιρέστε 1 από 15 για να λάβετε 14.

$$-9x+x^{2}=14$$

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-9x=14$$

Διαιρέστε το -9, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{9}{2}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{9}{2} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-9x+\left(-\frac{9}{2}\right)^{2}=14+\left(-\frac{9}{2}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{9}{2} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}-9x+\frac{81}{4}=14+\frac{81}{4}$$

Προσθέστε το 14 και το \frac{81}{4}.

$$x^{2}-9x+\frac{81}{4}=\frac{137}{4}$$

Παραγον x^{2}-9x+\frac{81}{4}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{9}{2}\right)^{2}=\frac{137}{4}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{137}{4}}$$

Απλοποιήστε.

$$x-\frac{9}{2}=\frac{\sqrt{137}}{2} x-\frac{9}{2}=-\frac{\sqrt{137}}{2}$$

Προσθέστε \frac{9}{2} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=\frac{\sqrt{137}+9}{2} x=\frac{9-\sqrt{137}}{2}$$