Επίλυση 1/x+1/x+6-1/4=0

$$\frac { 1 } { x } + \frac { 1 } { x + 6 } - \frac { 1 } { 4 } = 0$$

Λύση ως προς x

$$x=-4$$

$$x=6$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με οποιαδήποτε από τις τιμές -6,0 επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το 4x\left(x+6\right), δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των x,x+6,4.

$$4x+24+4x+4x\left(x+6\right)\left(-\frac{1}{4}\right)=0$$

Συνδυάστε το 4x και το 4x για να λάβετε 8x.

$$8x+24+4x\left(x+6\right)\left(-\frac{1}{4}\right)=0$$

Πολλαπλασιάστε 4 και -\frac{1}{4} για να λάβετε -1.

$$8x+24-x\left(x+6\right)=0$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το -x με το x+6.

$$8x+24-x^{2}-6x=0$$

Συνδυάστε το 8x και το -6x για να λάβετε 2x.

$$2x+24-x^{2}=0$$

Αναδιατάξτε το πολυώνυμο για να το θέσετε σε τυπική μορφή. Τοποθετήστε τους όρους με τη σειρά, από τη μεγαλύτερη προς τη μικρότερη δύναμη.

$$-x^{2}+2x+24=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως -x^{2}+ax+bx+24. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=2 ab=-24=-24$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Δεδομένου ότι a+b είναι θετικός, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από τη αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -24.

$$-1,24 -2,12 -3,8 -4,6$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+24=23 -2+12=10 -3+8=5 -4+6=2$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 2.

$$a=6 b=-4$$

Γράψτε πάλι το -x^{2}+2x+24 ως \left(-x^{2}+6x\right)+\left(-4x+24\right).

$$\left(-x^{2}+6x\right)+\left(-4x+24\right)$$

Παραγοντοποιήστε -x στο πρώτο και στο -4 της δεύτερης ομάδας.

$$-x\left(x-6\right)-4\left(x-6\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-6 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-6\right)\left(-x-4\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x-6=0 και -x-4=0.

$$x=6 x=-4$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με οποιαδήποτε από τις τιμές -6,0 επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το 4x\left(x+6\right), δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των x,x+6,4.

$$4x+24+4x+4x\left(x+6\right)\left(-\frac{1}{4}\right)=0$$

Συνδυάστε το 4x και το 4x για να λάβετε 8x.

$$8x+24+4x\left(x+6\right)\left(-\frac{1}{4}\right)=0$$

Πολλαπλασιάστε 4 και -\frac{1}{4} για να λάβετε -1.

$$8x+24-x\left(x+6\right)=0$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το -x με το x+6.

$$8x+24-x^{2}-6x=0$$

Συνδυάστε το 8x και το -6x για να λάβετε 2x.

$$2x+24-x^{2}=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$-x^{2}+2x+24=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με -1, το b με 2 και το c με 24 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\left(-1\right)\times 24}}{2\left(-1\right)}$$

Υψώστε το 2 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\left(-1\right)\times 24}}{2\left(-1\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί -1.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+4\times 24}}{2\left(-1\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 4 επί 24.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+96}}{2\left(-1\right)}$$

Προσθέστε το 4 και το 96.

$$x=\frac{-2±\sqrt{100}}{2\left(-1\right)}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 100.

$$x=\frac{-2±10}{2\left(-1\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί -1.

$$x=\frac{-2±10}{-2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-2±10}{-2} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -2 και το 10.

$$x=\frac{8}{-2}$$

Διαιρέστε το 8 με το -2.

$$x=-4$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-2±10}{-2} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 10 από -2.

$$x=-\frac{12}{-2}$$

Διαιρέστε το -12 με το -2.

$$x=6$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=-4 x=6$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με οποιαδήποτε από τις τιμές -6,0 επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το 4x\left(x+6\right), δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των x,x+6,4.

$$4x+24+4x+4x\left(x+6\right)\left(-\frac{1}{4}\right)=0$$

Συνδυάστε το 4x και το 4x για να λάβετε 8x.

$$8x+24+4x\left(x+6\right)\left(-\frac{1}{4}\right)=0$$

Πολλαπλασιάστε 4 και -\frac{1}{4} για να λάβετε -1.

$$8x+24-x\left(x+6\right)=0$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το -x με το x+6.

$$8x+24-x^{2}-6x=0$$

Συνδυάστε το 8x και το -6x για να λάβετε 2x.

$$2x+24-x^{2}=0$$

Αφαιρέστε 24 και από τις δύο πλευρές. Το υπόλοιπο της αφαίρεσης οποιουδήποτε αριθμού από το μηδέν ισούται με τον αντίστοιχο αρνητικό αριθμό.

$$2x-x^{2}=-24$$

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+2x=-24$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με -1.

$$\frac{-x^{2}+2x}{-1}=-\frac{24}{-1}$$

Η διαίρεση με το -1 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το -1.

$$x^{2}+\frac{2}{-1}x=-\frac{24}{-1}$$

Διαιρέστε το 2 με το -1.

$$x^{2}-2x=-\frac{24}{-1}$$

Διαιρέστε το -24 με το -1.

$$x^{2}-2x=24$$

Διαιρέστε το -2, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -1. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -1 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-2x+1=24+1$$

Προσθέστε το 24 και το 1.

$$x^{2}-2x+1=25$$

Παραγον x^{2}-2x+1. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=25$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-1\right)^{2}}=\sqrt{25}$$

Απλοποιήστε.

$$x-1=5 x-1=-5$$

Προσθέστε 1 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=6 x=-4$$