Επίλυση 1/x+1/x+3=1/2

$$\frac { 1 } { x } + \frac { 1 } { x + 3 } = 1 / 2$$

Λύση ως προς x

$$x=-2$$

$$x=3$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με οποιαδήποτε από τις τιμές -3,0 επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το 2x\left(x+3\right), δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των x,x+3,2.

$$2x+6+2x=x\left(x+3\right)$$

Συνδυάστε το 2x και το 2x για να λάβετε 4x.

$$4x+6=x\left(x+3\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x με το x+3.

$$4x+6=x^{2}+3x$$

Αφαιρέστε x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$4x+6-x^{2}=3x$$

Αφαιρέστε 3x και από τις δύο πλευρές.

$$4x+6-x^{2}-3x=0$$

Συνδυάστε το 4x και το -3x για να λάβετε x.

$$x+6-x^{2}=0$$

Αναδιατάξτε το πολυώνυμο για να το θέσετε σε τυπική μορφή. Τοποθετήστε τους όρους με τη σειρά, από τη μεγαλύτερη προς τη μικρότερη δύναμη.

$$-x^{2}+x+6=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως -x^{2}+ax+bx+6. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=1 ab=-6=-6$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Δεδομένου ότι a+b είναι θετικός, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από τη αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -6.

$$-1,6 -2,3$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+6=5 -2+3=1$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 1.

$$a=3 b=-2$$

Γράψτε πάλι το -x^{2}+x+6 ως \left(-x^{2}+3x\right)+\left(-2x+6\right).

$$\left(-x^{2}+3x\right)+\left(-2x+6\right)$$

Παραγοντοποιήστε -x στο πρώτο και στο -2 της δεύτερης ομάδας.

$$-x\left(x-3\right)-2\left(x-3\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-3 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-3\right)\left(-x-2\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x-3=0 και -x-2=0.

$$x=3 x=-2$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με οποιαδήποτε από τις τιμές -3,0 επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το 2x\left(x+3\right), δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των x,x+3,2.

$$2x+6+2x=x\left(x+3\right)$$

Συνδυάστε το 2x και το 2x για να λάβετε 4x.

$$4x+6=x\left(x+3\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x με το x+3.

$$4x+6=x^{2}+3x$$

Αφαιρέστε x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$4x+6-x^{2}=3x$$

Αφαιρέστε 3x και από τις δύο πλευρές.

$$4x+6-x^{2}-3x=0$$

Συνδυάστε το 4x και το -3x για να λάβετε x.

$$x+6-x^{2}=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$-x^{2}+x+6=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με -1, το b με 1 και το c με 6 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-1\right)\times 6}}{2\left(-1\right)}$$

Υψώστε το 1 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-1\right)\times 6}}{2\left(-1\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί -1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+4\times 6}}{2\left(-1\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 4 επί 6.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+24}}{2\left(-1\right)}$$

Προσθέστε το 1 και το 24.

$$x=\frac{-1±\sqrt{25}}{2\left(-1\right)}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 25.

$$x=\frac{-1±5}{2\left(-1\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί -1.

$$x=\frac{-1±5}{-2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-1±5}{-2} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -1 και το 5.

$$x=\frac{4}{-2}$$

Διαιρέστε το 4 με το -2.

$$x=-2$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-1±5}{-2} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 5 από -1.

$$x=-\frac{6}{-2}$$

Διαιρέστε το -6 με το -2.

$$x=3$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=-2 x=3$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με οποιαδήποτε από τις τιμές -3,0 επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το 2x\left(x+3\right), δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των x,x+3,2.

$$2x+6+2x=x\left(x+3\right)$$

Συνδυάστε το 2x και το 2x για να λάβετε 4x.

$$4x+6=x\left(x+3\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x με το x+3.

$$4x+6=x^{2}+3x$$

Αφαιρέστε x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$4x+6-x^{2}=3x$$

Αφαιρέστε 3x και από τις δύο πλευρές.

$$4x+6-x^{2}-3x=0$$

Συνδυάστε το 4x και το -3x για να λάβετε x.

$$x+6-x^{2}=0$$

Αφαιρέστε 6 και από τις δύο πλευρές. Το υπόλοιπο της αφαίρεσης οποιουδήποτε αριθμού από το μηδέν ισούται με τον αντίστοιχο αρνητικό αριθμό.

$$x-x^{2}=-6$$

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+x=-6$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με -1.

$$\frac{-x^{2}+x}{-1}=-\frac{6}{-1}$$

Η διαίρεση με το -1 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το -1.

$$x^{2}+\frac{1}{-1}x=-\frac{6}{-1}$$

Διαιρέστε το 1 με το -1.

$$x^{2}-x=-\frac{6}{-1}$$

Διαιρέστε το -6 με το -1.

$$x^{2}-x=6$$

Διαιρέστε το -1, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{1}{2}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{1}{2} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=6+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{1}{2} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=6+\frac{1}{4}$$

Προσθέστε το 6 και το \frac{1}{4}.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{25}{4}$$

Παραγον x^{2}-x+\frac{1}{4}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{25}{4}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{4}}$$

Απλοποιήστε.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{5}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{5}{2}$$

Προσθέστε \frac{1}{2} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=3 x=-2$$