Επίλυση 1/x^2+x-2+1/x^2+7x+10+1/x^2+13x+40=1/3x-3-frac{1}{21}

$$\frac { 1 } { x ^ { 2 } + x - 2 } + \frac { 1 } { x ^ { 2 } + 7 x + 10 } + \frac { 1 } { x ^ { 2 } + 13 x + 40 } = \frac { 1 } { 3 x - 3 } - \frac { 1 } { 21 }$$

Λύση ως προς x

$$x=-1$$

Βήματα λύσης

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με οποιαδήποτε από τις τιμές -8,-5,-2,1 επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το 21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right), δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των x^{2}+x-2,x^{2}+7x+10,x^{2}+13x+40,3x-3,21.

$$21\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+8\right)+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 21 με το x+5.

$$\left(21x+105\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+8\right)+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 21x+105 με το x+8 και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$21x^{2}+273x+840+21\left(x-1\right)\left(x+8\right)+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 21 με το x-1.

$$21x^{2}+273x+840+\left(21x-21\right)\left(x+8\right)+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 21x-21 με το x+8 και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$21x^{2}+273x+840+21x^{2}+147x-168+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Συνδυάστε το 21x^{2} και το 21x^{2} για να λάβετε 42x^{2}.

$$42x^{2}+273x+840+147x-168+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Συνδυάστε το 273x και το 147x για να λάβετε 420x.

$$42x^{2}+420x+840-168+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Αφαιρέστε 168 από 840 για να λάβετε 672.

$$42x^{2}+420x+672+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 21 με το x+2.

$$42x^{2}+420x+672+\left(21x+42\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 21x+42 με το x-1 και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$42x^{2}+420x+672+21x^{2}+21x-42=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Συνδυάστε το 42x^{2} και το 21x^{2} για να λάβετε 63x^{2}.

$$63x^{2}+420x+672+21x-42=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Συνδυάστε το 420x και το 21x για να λάβετε 441x.

$$63x^{2}+441x+672-42=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Αφαιρέστε 42 από 672 για να λάβετε 630.

$$63x^{2}+441x+630=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 7 με το x+2.

$$63x^{2}+441x+630=\left(7x+14\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 7x+14 με το x+5 και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$63x^{2}+441x+630=\left(7x^{2}+49x+70\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 7x^{2}+49x+70 με το x+8 και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$63x^{2}+441x+630=7x^{3}+105x^{2}+462x+560+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Πολλαπλασιάστε 21 και -\frac{1}{21} για να λάβετε -1.

$$63x^{2}+441x+630=7x^{3}+105x^{2}+462x+560-\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το -1 με το x-1.

$$63x^{2}+441x+630=7x^{3}+105x^{2}+462x+560+\left(-x+1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το -x+1 με το x+2 και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$63x^{2}+441x+630=7x^{3}+105x^{2}+462x+560+\left(-x^{2}-x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το -x^{2}-x+2 με το x+5 και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$63x^{2}+441x+630=7x^{3}+105x^{2}+462x+560+\left(-x^{3}-6x^{2}-3x+10\right)\left(x+8\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το -x^{3}-6x^{2}-3x+10 με το x+8 και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$63x^{2}+441x+630=7x^{3}+105x^{2}+462x+560-x^{4}-14x^{3}-51x^{2}-14x+80$$

Συνδυάστε το 7x^{3} και το -14x^{3} για να λάβετε -7x^{3}.

$$63x^{2}+441x+630=-7x^{3}+105x^{2}+462x+560-x^{4}-51x^{2}-14x+80$$

Συνδυάστε το 105x^{2} και το -51x^{2} για να λάβετε 54x^{2}.

$$63x^{2}+441x+630=-7x^{3}+54x^{2}+462x+560-x^{4}-14x+80$$

Συνδυάστε το 462x και το -14x για να λάβετε 448x.

$$63x^{2}+441x+630=-7x^{3}+54x^{2}+448x+560-x^{4}+80$$

Προσθέστε 560 και 80 για να λάβετε 640.

$$63x^{2}+441x+630=-7x^{3}+54x^{2}+448x+640-x^{4}$$

Προσθήκη 7x^{3} και στις δύο πλευρές.

$$63x^{2}+441x+630+7x^{3}=54x^{2}+448x+640-x^{4}$$

Αφαιρέστε 54x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$63x^{2}+441x+630+7x^{3}-54x^{2}=448x+640-x^{4}$$

Συνδυάστε το 63x^{2} και το -54x^{2} για να λάβετε 9x^{2}.

$$9x^{2}+441x+630+7x^{3}=448x+640-x^{4}$$

Αφαιρέστε 448x και από τις δύο πλευρές.

$$9x^{2}+441x+630+7x^{3}-448x=640-x^{4}$$

Συνδυάστε το 441x και το -448x για να λάβετε -7x.

$$9x^{2}-7x+630+7x^{3}=640-x^{4}$$

Αφαιρέστε 640 και από τις δύο πλευρές.

$$9x^{2}-7x+630+7x^{3}-640=-x^{4}$$

Αφαιρέστε 640 από 630 για να λάβετε -10.

$$9x^{2}-7x-10+7x^{3}=-x^{4}$$

Προσθήκη x^{4} και στις δύο πλευρές.

$$9x^{2}-7x-10+7x^{3}+x^{4}=0$$

Αναδιατάξτε την εξίσωση για να τη θέσετε σε τυπική μορφή. Τοποθετήστε τους όρους με τη σειρά, από τη μεγαλύτερη προς τη μικρότερη δύναμη.

$$x^{4}+7x^{3}+9x^{2}-7x-10=0$$

Από τη ρητών ρίζας θεώρημα, όλες οι ρητών ρίζες ενός πολυωνύμου βρίσκονται στη \frac{p}{q} φόρμας, όπου p διαιρείται τη σταθερή -10 όρων και q διαιρείται τον αρχικό συντελεστή 1. Λίστα όλων των υποψηφίων \frac{p}{q}.

$$±10,±5,±2,±1$$

Βρείτε μία τέτοια ρίζα, δοκιμάζοντας όλες τις ακέραιες τιμές, ξεκινώντας από τη μικρότερη κατά απόλυτη τιμή. Αν δεν βρεθούν ακέραιες ρίζες, δοκιμάστε κλάσματα.

$$x=1$$

Κατά παράγοντα θεώρημα, x-k είναι ένας συντελεστής του πολυωνύμου για κάθε ριζικό k. Διαιρέστε το x^{4}+7x^{3}+9x^{2}-7x-10 με το x-1 για να λάβετε x^{3}+8x^{2}+17x+10. Επίλυση της εξίσωσης όπου το αποτέλεσμα είναι ίσο με 0.

$$x^{3}+8x^{2}+17x+10=0$$

Από τη ρητών ρίζας θεώρημα, όλες οι ρητών ρίζες ενός πολυωνύμου βρίσκονται στη \frac{p}{q} φόρμας, όπου p διαιρείται τη σταθερή 10 όρων και q διαιρείται τον αρχικό συντελεστή 1. Λίστα όλων των υποψηφίων \frac{p}{q}.

$$±10,±5,±2,±1$$

Βρείτε μία τέτοια ρίζα, δοκιμάζοντας όλες τις ακέραιες τιμές, ξεκινώντας από τη μικρότερη κατά απόλυτη τιμή. Αν δεν βρεθούν ακέραιες ρίζες, δοκιμάστε κλάσματα.

$$x=-1$$

Κατά παράγοντα θεώρημα, x-k είναι ένας συντελεστής του πολυωνύμου για κάθε ριζικό k. Διαιρέστε το x^{3}+8x^{2}+17x+10 με το x+1 για να λάβετε x^{2}+7x+10. Επίλυση της εξίσωσης όπου το αποτέλεσμα είναι ίσο με 0.

$$x^{2}+7x+10=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να επιλυθούν χρησιμοποιώντας τον πολυωνυμικό τύπο: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Υποκαταστήστε 1 για a, 7 για b και 10 για c στον πολυωνυμικό τύπου.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 1\times 10}}{2}$$

Κάντε τους υπολογισμούς.

$$x=\frac{-7±3}{2}$$

Επιλύστε την εξίσωση x^{2}+7x+10=0 όταν το ± είναι συν και όταν ± είναι μείον.

$$x=-5 x=-2$$

Καταργήστε τις τιμές στις οποίες η μεταβλητή δεν μπορεί να είναι ίση με.

$$x=-1$$

Λίστα όλων των λύσεων που βρέθηκαν.

$$x=1 x=-1 x=-5 x=-2$$

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με οποιαδήποτε από τις τιμές 1,-5,-2.

$$x=-1$$