Επίλυση 1/x+1+x+3/(x-2)(x+1)=7x/(x+1)(x-2)-x/(x+1)

$$\frac { 1 } { x + 1 } + \frac { x + 3 } { ( x - 2 ) ( x + 1 ) } = \frac { 7 x } { ( x + 1 ) ( x - 2 ) } - \frac { x } { ( x + 1 ) }$$

Λύση ως προς x

$$x = \frac{3 \sqrt{5} + 7}{2} \approx 6,854101966$$

$$x=\frac{7-3\sqrt{5}}{2}\approx 0,145898034$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με οποιαδήποτε από τις τιμές -1,2 επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το \left(x-2\right)\left(x+1\right), δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των x+1,\left(x-2\right)\left(x+1\right).

$$x-2+x+3=7x-\left(x-2\right)x$$

Συνδυάστε το x και το x για να λάβετε 2x.

$$2x-2+3=7x-\left(x-2\right)x$$

Προσθέστε -2 και 3 για να λάβετε 1.

$$2x+1=7x-\left(x-2\right)x$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x-2 με το x.

$$2x+1=7x-\left(x^{2}-2x\right)$$

Για να βρείτε τον αντίθετο του x^{2}-2x, βρείτε τον αντίθετο κάθε όρου.

$$2x+1=7x-x^{2}+2x$$

Συνδυάστε το 7x και το 2x για να λάβετε 9x.

$$2x+1=9x-x^{2}$$

Αφαιρέστε 9x και από τις δύο πλευρές.

$$2x+1-9x=-x^{2}$$

Συνδυάστε το 2x και το -9x για να λάβετε -7x.

$$-7x+1=-x^{2}$$

Προσθήκη x^{2} και στις δύο πλευρές.

$$-7x+1+x^{2}=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$x^{2}-7x+1=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 1, το b με -7 και το c με 1 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4}}{2}$$

Υψώστε το -7 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4}}{2}$$

Προσθέστε το 49 και το -4.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{45}}{2}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 45.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±3\sqrt{5}}{2}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -7 είναι 7.

$$x=\frac{7±3\sqrt{5}}{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{7±3\sqrt{5}}{2} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 7 και το 3\sqrt{5}.

$$x=\frac{3\sqrt{5}+7}{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{7±3\sqrt{5}}{2} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 3\sqrt{5} από 7.

$$x=\frac{7-3\sqrt{5}}{2}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=\frac{3\sqrt{5}+7}{2} x=\frac{7-3\sqrt{5}}{2}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με οποιαδήποτε από τις τιμές -1,2 επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το \left(x-2\right)\left(x+1\right), δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των x+1,\left(x-2\right)\left(x+1\right).

$$x-2+x+3=7x-\left(x-2\right)x$$

Συνδυάστε το x και το x για να λάβετε 2x.

$$2x-2+3=7x-\left(x-2\right)x$$

Προσθέστε -2 και 3 για να λάβετε 1.

$$2x+1=7x-\left(x-2\right)x$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x-2 με το x.

$$2x+1=7x-\left(x^{2}-2x\right)$$

Για να βρείτε τον αντίθετο του x^{2}-2x, βρείτε τον αντίθετο κάθε όρου.

$$2x+1=7x-x^{2}+2x$$

Συνδυάστε το 7x και το 2x για να λάβετε 9x.

$$2x+1=9x-x^{2}$$

Αφαιρέστε 9x και από τις δύο πλευρές.

$$2x+1-9x=-x^{2}$$

Συνδυάστε το 2x και το -9x για να λάβετε -7x.

$$-7x+1=-x^{2}$$

Προσθήκη x^{2} και στις δύο πλευρές.

$$-7x+1+x^{2}=0$$

Αφαιρέστε 1 και από τις δύο πλευρές. Το υπόλοιπο της αφαίρεσης οποιουδήποτε αριθμού από το μηδέν ισούται με τον αντίστοιχο αρνητικό αριθμό.

$$-7x+x^{2}=-1$$

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-7x=-1$$

Διαιρέστε το -7, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{7}{2}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{7}{2} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-7x+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}=-1+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{7}{2} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}-7x+\frac{49}{4}=-1+\frac{49}{4}$$

Προσθέστε το -1 και το \frac{49}{4}.

$$x^{2}-7x+\frac{49}{4}=\frac{45}{4}$$

Παραγον x^{2}-7x+\frac{49}{4}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}=\frac{45}{4}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{45}{4}}$$

Απλοποιήστε.

$$x-\frac{7}{2}=\frac{3\sqrt{5}}{2} x-\frac{7}{2}=-\frac{3\sqrt{5}}{2}$$

Προσθέστε \frac{7}{2} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=\frac{3\sqrt{5}+7}{2} x=\frac{7-3\sqrt{5}}{2}$$