Επίλυση 1/9x^2-6x+1+16/15x^2+25x-10=1/3x-1

$$\frac { 1 } { 9 x ^ { 2 } - 6 x + 1 } + \frac { 16 } { 15 x ^ { 2 } + 25 x - 10 } = \frac { 1 } { 3 x - 1 }$$

Λύση ως προς x

$$x=-\frac{2}{15}\approx -0,133333333$$

$$x=2$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με οποιαδήποτε από τις τιμές -2,\frac{1}{3} επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το 5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)^{2}, δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των 9x^{2}-6x+1,15x^{2}+25x-10,3x-1.

$$5x+10+\left(3x-1\right)\times 16=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 3x-1 με το 16.

$$5x+10+48x-16=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

Συνδυάστε το 5x και το 48x για να λάβετε 53x.

$$53x+10-16=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

Αφαιρέστε 16 από 10 για να λάβετε -6.

$$53x-6=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 5 με το x+2.

$$53x-6=\left(5x+10\right)\left(3x-1\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 5x+10 με το 3x-1 και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$53x-6=15x^{2}+25x-10$$

Αφαιρέστε 15x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$53x-6-15x^{2}=25x-10$$

Αφαιρέστε 25x και από τις δύο πλευρές.

$$53x-6-15x^{2}-25x=-10$$

Συνδυάστε το 53x και το -25x για να λάβετε 28x.

$$28x-6-15x^{2}=-10$$

Προσθήκη 10 και στις δύο πλευρές.

$$28x-6-15x^{2}+10=0$$

Προσθέστε -6 και 10 για να λάβετε 4.

$$28x+4-15x^{2}=0$$

Αναδιατάξτε το πολυώνυμο για να το θέσετε σε τυπική μορφή. Τοποθετήστε τους όρους με τη σειρά, από τη μεγαλύτερη προς τη μικρότερη δύναμη.

$$-15x^{2}+28x+4=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως -15x^{2}+ax+bx+4. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=28 ab=-15\times 4=-60$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Δεδομένου ότι a+b είναι θετικός, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από τη αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -60.

$$-1,60 -2,30 -3,20 -4,15 -5,12 -6,10$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+60=59 -2+30=28 -3+20=17 -4+15=11 -5+12=7 -6+10=4$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 28.

$$a=30 b=-2$$

Γράψτε πάλι το -15x^{2}+28x+4 ως \left(-15x^{2}+30x\right)+\left(-2x+4\right).

$$\left(-15x^{2}+30x\right)+\left(-2x+4\right)$$

Παραγοντοποιήστε 15x στο πρώτο και στο 2 της δεύτερης ομάδας.

$$15x\left(-x+2\right)+2\left(-x+2\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο -x+2 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(-x+2\right)\left(15x+2\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε -x+2=0 και 15x+2=0.

$$x=2 x=-\frac{2}{15}$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με οποιαδήποτε από τις τιμές -2,\frac{1}{3} επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το 5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)^{2}, δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των 9x^{2}-6x+1,15x^{2}+25x-10,3x-1.

$$5x+10+\left(3x-1\right)\times 16=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 3x-1 με το 16.

$$5x+10+48x-16=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

Συνδυάστε το 5x και το 48x για να λάβετε 53x.

$$53x+10-16=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

Αφαιρέστε 16 από 10 για να λάβετε -6.

$$53x-6=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 5 με το x+2.

$$53x-6=\left(5x+10\right)\left(3x-1\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 5x+10 με το 3x-1 και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$53x-6=15x^{2}+25x-10$$

Αφαιρέστε 15x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$53x-6-15x^{2}=25x-10$$

Αφαιρέστε 25x και από τις δύο πλευρές.

$$53x-6-15x^{2}-25x=-10$$

Συνδυάστε το 53x και το -25x για να λάβετε 28x.

$$28x-6-15x^{2}=-10$$

Προσθήκη 10 και στις δύο πλευρές.

$$28x-6-15x^{2}+10=0$$

Προσθέστε -6 και 10 για να λάβετε 4.

$$28x+4-15x^{2}=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$-15x^{2}+28x+4=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με -15, το b με 28 και το c με 4 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-28±\sqrt{28^{2}-4\left(-15\right)\times 4}}{2\left(-15\right)}$$

Υψώστε το 28 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-28±\sqrt{784-4\left(-15\right)\times 4}}{2\left(-15\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί -15.

$$x=\frac{-28±\sqrt{784+60\times 4}}{2\left(-15\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 60 επί 4.

$$x=\frac{-28±\sqrt{784+240}}{2\left(-15\right)}$$

Προσθέστε το 784 και το 240.

$$x=\frac{-28±\sqrt{1024}}{2\left(-15\right)}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 1024.

$$x=\frac{-28±32}{2\left(-15\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί -15.

$$x=\frac{-28±32}{-30}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-28±32}{-30} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -28 και το 32.

$$x=\frac{4}{-30}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{4}{-30} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$x=-\frac{2}{15}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-28±32}{-30} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 32 από -28.

$$x=-\frac{60}{-30}$$

Διαιρέστε το -60 με το -30.

$$x=2$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=-\frac{2}{15} x=2$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με οποιαδήποτε από τις τιμές -2,\frac{1}{3} επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το 5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)^{2}, δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των 9x^{2}-6x+1,15x^{2}+25x-10,3x-1.

$$5x+10+\left(3x-1\right)\times 16=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 3x-1 με το 16.

$$5x+10+48x-16=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

Συνδυάστε το 5x και το 48x για να λάβετε 53x.

$$53x+10-16=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

Αφαιρέστε 16 από 10 για να λάβετε -6.

$$53x-6=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 5 με το x+2.

$$53x-6=\left(5x+10\right)\left(3x-1\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 5x+10 με το 3x-1 και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$53x-6=15x^{2}+25x-10$$

Αφαιρέστε 15x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$53x-6-15x^{2}=25x-10$$

Αφαιρέστε 25x και από τις δύο πλευρές.

$$53x-6-15x^{2}-25x=-10$$

Συνδυάστε το 53x και το -25x για να λάβετε 28x.

$$28x-6-15x^{2}=-10$$

Προσθήκη 6 και στις δύο πλευρές.

$$28x-15x^{2}=-10+6$$

Προσθέστε -10 και 6 για να λάβετε -4.

$$28x-15x^{2}=-4$$

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$-15x^{2}+28x=-4$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με -15.

$$\frac{-15x^{2}+28x}{-15}=-\frac{4}{-15}$$

Η διαίρεση με το -15 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το -15.

$$x^{2}+\frac{28}{-15}x=-\frac{4}{-15}$$

Διαιρέστε το 28 με το -15.

$$x^{2}-\frac{28}{15}x=-\frac{4}{-15}$$

Διαιρέστε το -4 με το -15.

$$x^{2}-\frac{28}{15}x=\frac{4}{15}$$

Διαιρέστε το -\frac{28}{15}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{14}{15}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{14}{15} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-\frac{28}{15}x+\left(-\frac{14}{15}\right)^{2}=\frac{4}{15}+\left(-\frac{14}{15}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{14}{15} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}-\frac{28}{15}x+\frac{196}{225}=\frac{4}{15}+\frac{196}{225}$$

Προσθέστε το \frac{4}{15} και το \frac{196}{225} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}-\frac{28}{15}x+\frac{196}{225}=\frac{256}{225}$$

Παραγον x^{2}-\frac{28}{15}x+\frac{196}{225}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{14}{15}\right)^{2}=\frac{256}{225}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-\frac{14}{15}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{256}{225}}$$

Απλοποιήστε.

$$x-\frac{14}{15}=\frac{16}{15} x-\frac{14}{15}=-\frac{16}{15}$$

Προσθέστε \frac{14}{15} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=2 x=-\frac{2}{15}$$