Επίλυση 1/3x^2+4/5x=1

$$\frac { 1 } { 3 } x ^ { 2 } + \frac { 4 } { 5 } x = 1$$

Λύση ως προς x

$$x=\frac{\sqrt{111}-6}{5}\approx 0,907130751$$

$$x=\frac{-\sqrt{111}-6}{5}\approx -3,307130751$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$\frac{1}{3}x^{2}+\frac{4}{5}x=1$$

Αφαιρέστε 1 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$\frac{1}{3}x^{2}+\frac{4}{5}x-1=1-1$$

Η αφαίρεση του 1 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$\frac{1}{3}x^{2}+\frac{4}{5}x-1=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με \frac{1}{3}, το b με \frac{4}{5} και το c με -1 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\frac{4}{5}±\sqrt{\left(\frac{4}{5}\right)^{2}-4\times \frac{1}{3}\left(-1\right)}}{2\times \frac{1}{3}}$$

Υψώστε το \frac{4}{5} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x=\frac{-\frac{4}{5}±\sqrt{\frac{16}{25}-4\times \frac{1}{3}\left(-1\right)}}{2\times \frac{1}{3}}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί \frac{1}{3}.

$$x=\frac{-\frac{4}{5}±\sqrt{\frac{16}{25}-\frac{4}{3}\left(-1\right)}}{2\times \frac{1}{3}}$$

Πολλαπλασιάστε το -\frac{4}{3} επί -1.

$$x=\frac{-\frac{4}{5}±\sqrt{\frac{16}{25}+\frac{4}{3}}}{2\times \frac{1}{3}}$$

Προσθέστε το \frac{16}{25} και το \frac{4}{3} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x=\frac{-\frac{4}{5}±\sqrt{\frac{148}{75}}}{2\times \frac{1}{3}}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του \frac{148}{75}.

$$x=\frac{-\frac{4}{5}±\frac{2\sqrt{111}}{15}}{2\times \frac{1}{3}}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί \frac{1}{3}.

$$x=\frac{-\frac{4}{5}±\frac{2\sqrt{111}}{15}}{\frac{2}{3}}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-\frac{4}{5}±\frac{2\sqrt{111}}{15}}{\frac{2}{3}} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -\frac{4}{5} και το \frac{2\sqrt{111}}{15}.

$$x=\frac{\frac{2\sqrt{111}}{15}-\frac{4}{5}}{\frac{2}{3}}$$

Διαιρέστε το -\frac{4}{5}+\frac{2\sqrt{111}}{15} με το \frac{2}{3}, πολλαπλασιάζοντας το -\frac{4}{5}+\frac{2\sqrt{111}}{15} με τον αντίστροφο του \frac{2}{3}.

$$x=\frac{\sqrt{111}-6}{5}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-\frac{4}{5}±\frac{2\sqrt{111}}{15}}{\frac{2}{3}} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε \frac{2\sqrt{111}}{15} από -\frac{4}{5}.

$$x=\frac{-\frac{2\sqrt{111}}{15}-\frac{4}{5}}{\frac{2}{3}}$$

Διαιρέστε το -\frac{4}{5}-\frac{2\sqrt{111}}{15} με το \frac{2}{3}, πολλαπλασιάζοντας το -\frac{4}{5}-\frac{2\sqrt{111}}{15} με τον αντίστροφο του \frac{2}{3}.

$$x=\frac{-\sqrt{111}-6}{5}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=\frac{\sqrt{111}-6}{5} x=\frac{-\sqrt{111}-6}{5}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$\frac{1}{3}x^{2}+\frac{4}{5}x=1$$

Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές με 3.

$$\frac{\frac{1}{3}x^{2}+\frac{4}{5}x}{\frac{1}{3}}=\frac{1}{\frac{1}{3}}$$

Η διαίρεση με το \frac{1}{3} αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το \frac{1}{3}.

$$x^{2}+\frac{\frac{4}{5}}{\frac{1}{3}}x=\frac{1}{\frac{1}{3}}$$

Διαιρέστε το \frac{4}{5} με το \frac{1}{3}, πολλαπλασιάζοντας το \frac{4}{5} με τον αντίστροφο του \frac{1}{3}.

$$x^{2}+\frac{12}{5}x=\frac{1}{\frac{1}{3}}$$

Διαιρέστε το 1 με το \frac{1}{3}, πολλαπλασιάζοντας το 1 με τον αντίστροφο του \frac{1}{3}.

$$x^{2}+\frac{12}{5}x=3$$

Διαιρέστε το \frac{12}{5}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε \frac{6}{5}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του \frac{6}{5} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}+\frac{12}{5}x+\left(\frac{6}{5}\right)^{2}=3+\left(\frac{6}{5}\right)^{2}$$

Υψώστε το \frac{6}{5} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}+\frac{12}{5}x+\frac{36}{25}=3+\frac{36}{25}$$

Προσθέστε το 3 και το \frac{36}{25}.

$$x^{2}+\frac{12}{5}x+\frac{36}{25}=\frac{111}{25}$$

Παραγον x^{2}+\frac{12}{5}x+\frac{36}{25}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{6}{5}\right)^{2}=\frac{111}{25}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x+\frac{6}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{111}{25}}$$

Απλοποιήστε.

$$x+\frac{6}{5}=\frac{\sqrt{111}}{5} x+\frac{6}{5}=-\frac{\sqrt{111}}{5}$$

Αφαιρέστε \frac{6}{5} και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=\frac{\sqrt{111}-6}{5} x=\frac{-\sqrt{111}-6}{5}$$