Επίλυση 1/15x^2-3/10x+1/3=0

$$\frac { 1 } { 15 } x ^ { 2 } - \frac { 3 } { 10 } x + \frac { 1 } { 3 } = 0$$

Λύση ως προς x

$$x=2$$

$$x = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2,5$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$\frac{1}{15}x^{2}-\frac{3}{10}x+\frac{1}{3}=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με \frac{1}{15}, το b με -\frac{3}{10} και το c με \frac{1}{3} στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-\frac{3}{10}\right)±\sqrt{\left(-\frac{3}{10}\right)^{2}-4\times \frac{1}{15}\times \frac{1}{3}}}{2\times \frac{1}{15}}$$

Υψώστε το -\frac{3}{10} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x=\frac{-\left(-\frac{3}{10}\right)±\sqrt{\frac{9}{100}-4\times \frac{1}{15}\times \frac{1}{3}}}{2\times \frac{1}{15}}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί \frac{1}{15}.

$$x=\frac{-\left(-\frac{3}{10}\right)±\sqrt{\frac{9}{100}-\frac{4}{15}\times \frac{1}{3}}}{2\times \frac{1}{15}}$$

Πολλαπλασιάστε το -\frac{4}{15} επί \frac{1}{3} πολλαπλασιάζοντας τον αριθμητή επί τον αριθμητή και τον παρονομαστή επί τον παρονομαστή. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους όρους, εάν είναι δυνατό.

$$x=\frac{-\left(-\frac{3}{10}\right)±\sqrt{\frac{9}{100}-\frac{4}{45}}}{2\times \frac{1}{15}}$$

Προσθέστε το \frac{9}{100} και το -\frac{4}{45} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x=\frac{-\left(-\frac{3}{10}\right)±\sqrt{\frac{1}{900}}}{2\times \frac{1}{15}}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του \frac{1}{900}.

$$x=\frac{-\left(-\frac{3}{10}\right)±\frac{1}{30}}{2\times \frac{1}{15}}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -\frac{3}{10} είναι \frac{3}{10}.

$$x=\frac{\frac{3}{10}±\frac{1}{30}}{2\times \frac{1}{15}}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί \frac{1}{15}.

$$x=\frac{\frac{3}{10}±\frac{1}{30}}{\frac{2}{15}}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{\frac{3}{10}±\frac{1}{30}}{\frac{2}{15}} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το \frac{3}{10} και το \frac{1}{30} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x=\frac{\frac{1}{3}}{\frac{2}{15}}$$

Διαιρέστε το \frac{1}{3} με το \frac{2}{15}, πολλαπλασιάζοντας το \frac{1}{3} με τον αντίστροφο του \frac{2}{15}.

$$x=\frac{5}{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{\frac{3}{10}±\frac{1}{30}}{\frac{2}{15}} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε \frac{3}{10} από \frac{1}{30} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και αφαιρώντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x=\frac{\frac{4}{15}}{\frac{2}{15}}$$

Διαιρέστε το \frac{4}{15} με το \frac{2}{15}, πολλαπλασιάζοντας το \frac{4}{15} με τον αντίστροφο του \frac{2}{15}.

$$x=2$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=\frac{5}{2} x=2$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$\frac{1}{15}x^{2}-\frac{3}{10}x+\frac{1}{3}=0$$

Αφαιρέστε \frac{1}{3} και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$\frac{1}{15}x^{2}-\frac{3}{10}x+\frac{1}{3}-\frac{1}{3}=-\frac{1}{3}$$

Η αφαίρεση του \frac{1}{3} από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$\frac{1}{15}x^{2}-\frac{3}{10}x=-\frac{1}{3}$$

Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές με 15.

$$\frac{\frac{1}{15}x^{2}-\frac{3}{10}x}{\frac{1}{15}}=-\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{15}}$$

Η διαίρεση με το \frac{1}{15} αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το \frac{1}{15}.

$$x^{2}+\left(-\frac{\frac{3}{10}}{\frac{1}{15}}\right)x=-\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{15}}$$

Διαιρέστε το -\frac{3}{10} με το \frac{1}{15}, πολλαπλασιάζοντας το -\frac{3}{10} με τον αντίστροφο του \frac{1}{15}.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x=-\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{15}}$$

Διαιρέστε το -\frac{1}{3} με το \frac{1}{15}, πολλαπλασιάζοντας το -\frac{1}{3} με τον αντίστροφο του \frac{1}{15}.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x=-5$$

Διαιρέστε το -\frac{9}{2}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{9}{4}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{9}{4} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x+\left(-\frac{9}{4}\right)^{2}=-5+\left(-\frac{9}{4}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{9}{4} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}=-5+\frac{81}{16}$$

Προσθέστε το -5 και το \frac{81}{16}.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}=\frac{1}{16}$$

Παραγον x^{2}-\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{9}{4}\right)^{2}=\frac{1}{16}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{16}}$$

Απλοποιήστε.

$$x-\frac{9}{4}=\frac{1}{4} x-\frac{9}{4}=-\frac{1}{4}$$

Προσθέστε \frac{9}{4} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=\frac{5}{2} x=2$$