Επίλυση 1/(x-3)=2x+1/x^2-4

$$\frac { 1 } { ( x - 3 ) } = \frac { 2 x + 1 } { x ^ { 2 } - 4 }$$

Λύση ως προς x

$$x = \frac{\sqrt{21} + 5}{2} \approx 4,791287847$$

$$x=\frac{5-\sqrt{21}}{2}\approx 0,208712153$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με οποιαδήποτε από τις τιμές -2,2,3 επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το \left(x-3\right)\left(x-2\right)\left(x+2\right), δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των x-3,x^{2}-4.

$$x^{2}-4=\left(x-3\right)\left(2x+1\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x-3 με το 2x+1 και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$x^{2}-4=2x^{2}-5x-3$$

Αφαιρέστε 2x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$x^{2}-4-2x^{2}=-5x-3$$

Συνδυάστε το x^{2} και το -2x^{2} για να λάβετε -x^{2}.

$$-x^{2}-4=-5x-3$$

Προσθήκη 5x και στις δύο πλευρές.

$$-x^{2}-4+5x=-3$$

Προσθήκη 3 και στις δύο πλευρές.

$$-x^{2}-4+5x+3=0$$

Προσθέστε -4 και 3 για να λάβετε -1.

$$-x^{2}-1+5x=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$-x^{2}+5x-1=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με -1, το b με 5 και το c με -1 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\left(-1\right)\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Υψώστε το 5 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\left(-1\right)\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί -1.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 4 επί -1.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4}}{2\left(-1\right)}$$

Προσθέστε το 25 και το -4.

$$x=\frac{-5±\sqrt{21}}{2\left(-1\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί -1.

$$x=\frac{-5±\sqrt{21}}{-2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-5±\sqrt{21}}{-2} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -5 και το \sqrt{21}.

$$x=\frac{\sqrt{21}-5}{-2}$$

Διαιρέστε το -5+\sqrt{21} με το -2.

$$x=\frac{5-\sqrt{21}}{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-5±\sqrt{21}}{-2} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε \sqrt{21} από -5.

$$x=\frac{-\sqrt{21}-5}{-2}$$

Διαιρέστε το -5-\sqrt{21} με το -2.

$$x=\frac{\sqrt{21}+5}{2}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=\frac{5-\sqrt{21}}{2} x=\frac{\sqrt{21}+5}{2}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με οποιαδήποτε από τις τιμές -2,2,3 επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το \left(x-3\right)\left(x-2\right)\left(x+2\right), δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των x-3,x^{2}-4.

$$x^{2}-4=\left(x-3\right)\left(2x+1\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x-3 με το 2x+1 και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$x^{2}-4=2x^{2}-5x-3$$

Αφαιρέστε 2x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$x^{2}-4-2x^{2}=-5x-3$$

Συνδυάστε το x^{2} και το -2x^{2} για να λάβετε -x^{2}.

$$-x^{2}-4=-5x-3$$

Προσθήκη 5x και στις δύο πλευρές.

$$-x^{2}-4+5x=-3$$

Προσθήκη 4 και στις δύο πλευρές.

$$-x^{2}+5x=-3+4$$

Προσθέστε -3 και 4 για να λάβετε 1.

$$-x^{2}+5x=1$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με -1.

$$\frac{-x^{2}+5x}{-1}=\frac{1}{-1}$$

Η διαίρεση με το -1 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το -1.

$$x^{2}+\frac{5}{-1}x=\frac{1}{-1}$$

Διαιρέστε το 5 με το -1.

$$x^{2}-5x=\frac{1}{-1}$$

Διαιρέστε το 1 με το -1.

$$x^{2}-5x=-1$$

Διαιρέστε το -5, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{5}{2}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{5}{2} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-5x+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=-1+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{5}{2} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=-1+\frac{25}{4}$$

Προσθέστε το -1 και το \frac{25}{4}.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=\frac{21}{4}$$

Παραγον x^{2}-5x+\frac{25}{4}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{21}{4}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{21}{4}}$$

Απλοποιήστε.

$$x-\frac{5}{2}=\frac{\sqrt{21}}{2} x-\frac{5}{2}=-\frac{\sqrt{21}}{2}$$

Προσθέστε \frac{5}{2} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=\frac{\sqrt{21}+5}{2} x=\frac{5-\sqrt{21}}{2}$$