Επίλυση (x+3)(6-x)/1-4x^2=-1/4

$$\frac { ( x + 3 ) ( 6 - x ) } { 1 - 4 x ^ { 2 } } = - \frac { 1 } { 4 }$$

Λύση ως προς x

$$x = \frac{\sqrt{155} + 3}{4} \approx 3,862474899$$

$$x=\frac{3-\sqrt{155}}{4}\approx -2,362474899$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με οποιαδήποτε από τις τιμές -\frac{1}{2},\frac{1}{2} επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το 4\left(2x-1\right)\left(2x+1\right), δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των 1-4x^{2},4.

$$-4\left(x+3\right)\left(6-x\right)=-\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το -4 με το x+3.

$$\left(-4x-12\right)\left(6-x\right)=-\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το -4x-12 με το 6-x και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$-12x+4x^{2}-72=-\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το -1 με το 2x-1.

$$-12x+4x^{2}-72=\left(-2x+1\right)\left(2x+1\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το -2x+1 με το 2x+1 και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$-12x+4x^{2}-72=-4x^{2}+1$$

Προσθήκη 4x^{2} και στις δύο πλευρές.

$$-12x+4x^{2}-72+4x^{2}=1$$

Συνδυάστε το 4x^{2} και το 4x^{2} για να λάβετε 8x^{2}.

$$-12x+8x^{2}-72=1$$

Αφαιρέστε 1 και από τις δύο πλευρές.

$$-12x+8x^{2}-72-1=0$$

Αφαιρέστε 1 από -72 για να λάβετε -73.

$$-12x+8x^{2}-73=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$8x^{2}-12x-73=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 8, το b με -12 και το c με -73 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 8\left(-73\right)}}{2\times 8}$$

Υψώστε το -12 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 8\left(-73\right)}}{2\times 8}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 8.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-32\left(-73\right)}}{2\times 8}$$

Πολλαπλασιάστε το -32 επί -73.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144+2336}}{2\times 8}$$

Προσθέστε το 144 και το 2336.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{2480}}{2\times 8}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 2480.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±4\sqrt{155}}{2\times 8}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -12 είναι 12.

$$x=\frac{12±4\sqrt{155}}{2\times 8}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 8.

$$x=\frac{12±4\sqrt{155}}{16}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{12±4\sqrt{155}}{16} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 12 και το 4\sqrt{155}.

$$x=\frac{4\sqrt{155}+12}{16}$$

Διαιρέστε το 12+4\sqrt{155} με το 16.

$$x=\frac{\sqrt{155}+3}{4}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{12±4\sqrt{155}}{16} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 4\sqrt{155} από 12.

$$x=\frac{12-4\sqrt{155}}{16}$$

Διαιρέστε το 12-4\sqrt{155} με το 16.

$$x=\frac{3-\sqrt{155}}{4}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=\frac{\sqrt{155}+3}{4} x=\frac{3-\sqrt{155}}{4}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με οποιαδήποτε από τις τιμές -\frac{1}{2},\frac{1}{2} επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το 4\left(2x-1\right)\left(2x+1\right), δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των 1-4x^{2},4.

$$-4\left(x+3\right)\left(6-x\right)=-\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το -4 με το x+3.

$$\left(-4x-12\right)\left(6-x\right)=-\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το -4x-12 με το 6-x και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$-12x+4x^{2}-72=-\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το -1 με το 2x-1.

$$-12x+4x^{2}-72=\left(-2x+1\right)\left(2x+1\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το -2x+1 με το 2x+1 και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$-12x+4x^{2}-72=-4x^{2}+1$$

Προσθήκη 4x^{2} και στις δύο πλευρές.

$$-12x+4x^{2}-72+4x^{2}=1$$

Συνδυάστε το 4x^{2} και το 4x^{2} για να λάβετε 8x^{2}.

$$-12x+8x^{2}-72=1$$

Προσθήκη 72 και στις δύο πλευρές.

$$-12x+8x^{2}=1+72$$

Προσθέστε 1 και 72 για να λάβετε 73.

$$-12x+8x^{2}=73$$

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$8x^{2}-12x=73$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 8.

$$\frac{8x^{2}-12x}{8}=\frac{73}{8}$$

Η διαίρεση με το 8 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 8.

$$x^{2}+\left(-\frac{12}{8}\right)x=\frac{73}{8}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-12}{8} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 4.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=\frac{73}{8}$$

Διαιρέστε το -\frac{3}{2}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{3}{4}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{3}{4} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{73}{8}+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{3}{4} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{73}{8}+\frac{9}{16}$$

Προσθέστε το \frac{73}{8} και το \frac{9}{16} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{155}{16}$$

Παραγον x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{155}{16}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{155}{16}}$$

Απλοποιήστε.

$$x-\frac{3}{4}=\frac{\sqrt{155}}{4} x-\frac{3}{4}=-\frac{\sqrt{155}}{4}$$

Προσθέστε \frac{3}{4} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=\frac{\sqrt{155}+3}{4} x=\frac{3-\sqrt{155}}{4}$$