Επίλυση (x+3)^2/5+1-(3x-1)^2/5=x(2x-3)/2

$$\frac { ( x + 3 ) ^ { 2 } } { 5 } + 1 - \frac { ( 3 x - 1 ) ^ { 2 } } { 5 } = \frac { x ( 2 x - 3 ) } { 2 }$$

Λύση ως προς x

$$x=2$$

$$x=-\frac{1}{2}=-0,5$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το 10, δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των 5,2.

$$2\left(x+3\right)^{2}+10-2\left(3x-1\right)^{2}=5x\left(2x-3\right)$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(x+3\right)^{2}.

$$2\left(x^{2}+6x+9\right)+10-2\left(3x-1\right)^{2}=5x\left(2x-3\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 2 με το x^{2}+6x+9.

$$2x^{2}+12x+18+10-2\left(3x-1\right)^{2}=5x\left(2x-3\right)$$

Προσθέστε 18 και 10 για να λάβετε 28.

$$2x^{2}+12x+28-2\left(3x-1\right)^{2}=5x\left(2x-3\right)$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(3x-1\right)^{2}.

$$2x^{2}+12x+28-2\left(9x^{2}-6x+1\right)=5x\left(2x-3\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το -2 με το 9x^{2}-6x+1.

$$2x^{2}+12x+28-18x^{2}+12x-2=5x\left(2x-3\right)$$

Συνδυάστε το 2x^{2} και το -18x^{2} για να λάβετε -16x^{2}.

$$-16x^{2}+12x+28+12x-2=5x\left(2x-3\right)$$

Συνδυάστε το 12x και το 12x για να λάβετε 24x.

$$-16x^{2}+24x+28-2=5x\left(2x-3\right)$$

Αφαιρέστε 2 από 28 για να λάβετε 26.

$$-16x^{2}+24x+26=5x\left(2x-3\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 5x με το 2x-3.

$$-16x^{2}+24x+26=10x^{2}-15x$$

Αφαιρέστε 10x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$-16x^{2}+24x+26-10x^{2}=-15x$$

Συνδυάστε το -16x^{2} και το -10x^{2} για να λάβετε -26x^{2}.

$$-26x^{2}+24x+26=-15x$$

Προσθήκη 15x και στις δύο πλευρές.

$$-26x^{2}+24x+26+15x=0$$

Συνδυάστε το 24x και το 15x για να λάβετε 39x.

$$-26x^{2}+39x+26=0$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 13.

$$-2x^{2}+3x+2=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως -2x^{2}+ax+bx+2. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=3 ab=-2\times 2=-4$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Δεδομένου ότι a+b είναι θετικός, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από τη αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -4.

$$-1,4 -2,2$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+4=3 -2+2=0$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 3.

$$a=4 b=-1$$

Γράψτε πάλι το -2x^{2}+3x+2 ως \left(-2x^{2}+4x\right)+\left(-x+2\right).

$$\left(-2x^{2}+4x\right)+\left(-x+2\right)$$

Παραγοντοποιήστε το 2x στην εξίσωση -2x^{2}+4x.

$$2x\left(-x+2\right)-x+2$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο -x+2 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(-x+2\right)\left(2x+1\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε -x+2=0 και 2x+1=0.

$$x=2 x=-\frac{1}{2}$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το 10, δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των 5,2.

$$2\left(x+3\right)^{2}+10-2\left(3x-1\right)^{2}=5x\left(2x-3\right)$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(x+3\right)^{2}.

$$2\left(x^{2}+6x+9\right)+10-2\left(3x-1\right)^{2}=5x\left(2x-3\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 2 με το x^{2}+6x+9.

$$2x^{2}+12x+18+10-2\left(3x-1\right)^{2}=5x\left(2x-3\right)$$

Προσθέστε 18 και 10 για να λάβετε 28.

$$2x^{2}+12x+28-2\left(3x-1\right)^{2}=5x\left(2x-3\right)$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(3x-1\right)^{2}.

$$2x^{2}+12x+28-2\left(9x^{2}-6x+1\right)=5x\left(2x-3\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το -2 με το 9x^{2}-6x+1.

$$2x^{2}+12x+28-18x^{2}+12x-2=5x\left(2x-3\right)$$

Συνδυάστε το 2x^{2} και το -18x^{2} για να λάβετε -16x^{2}.

$$-16x^{2}+12x+28+12x-2=5x\left(2x-3\right)$$

Συνδυάστε το 12x και το 12x για να λάβετε 24x.

$$-16x^{2}+24x+28-2=5x\left(2x-3\right)$$

Αφαιρέστε 2 από 28 για να λάβετε 26.

$$-16x^{2}+24x+26=5x\left(2x-3\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 5x με το 2x-3.

$$-16x^{2}+24x+26=10x^{2}-15x$$

Αφαιρέστε 10x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$-16x^{2}+24x+26-10x^{2}=-15x$$

Συνδυάστε το -16x^{2} και το -10x^{2} για να λάβετε -26x^{2}.

$$-26x^{2}+24x+26=-15x$$

Προσθήκη 15x και στις δύο πλευρές.

$$-26x^{2}+24x+26+15x=0$$

Συνδυάστε το 24x και το 15x για να λάβετε 39x.

$$-26x^{2}+39x+26=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με -26, το b με 39 και το c με 26 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-39±\sqrt{39^{2}-4\left(-26\right)\times 26}}{2\left(-26\right)}$$

Υψώστε το 39 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-39±\sqrt{1521-4\left(-26\right)\times 26}}{2\left(-26\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί -26.

$$x=\frac{-39±\sqrt{1521+104\times 26}}{2\left(-26\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 104 επί 26.

$$x=\frac{-39±\sqrt{1521+2704}}{2\left(-26\right)}$$

Προσθέστε το 1521 και το 2704.

$$x=\frac{-39±\sqrt{4225}}{2\left(-26\right)}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 4225.

$$x=\frac{-39±65}{2\left(-26\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί -26.

$$x=\frac{-39±65}{-52}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-39±65}{-52} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -39 και το 65.

$$x=\frac{26}{-52}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{26}{-52} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 26.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-39±65}{-52} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 65 από -39.

$$x=-\frac{104}{-52}$$

Διαιρέστε το -104 με το -52.

$$x=2$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=-\frac{1}{2} x=2$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το 10, δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των 5,2.

$$2\left(x+3\right)^{2}+10-2\left(3x-1\right)^{2}=5x\left(2x-3\right)$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(x+3\right)^{2}.

$$2\left(x^{2}+6x+9\right)+10-2\left(3x-1\right)^{2}=5x\left(2x-3\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 2 με το x^{2}+6x+9.

$$2x^{2}+12x+18+10-2\left(3x-1\right)^{2}=5x\left(2x-3\right)$$

Προσθέστε 18 και 10 για να λάβετε 28.

$$2x^{2}+12x+28-2\left(3x-1\right)^{2}=5x\left(2x-3\right)$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(3x-1\right)^{2}.

$$2x^{2}+12x+28-2\left(9x^{2}-6x+1\right)=5x\left(2x-3\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το -2 με το 9x^{2}-6x+1.

$$2x^{2}+12x+28-18x^{2}+12x-2=5x\left(2x-3\right)$$

Συνδυάστε το 2x^{2} και το -18x^{2} για να λάβετε -16x^{2}.

$$-16x^{2}+12x+28+12x-2=5x\left(2x-3\right)$$

Συνδυάστε το 12x και το 12x για να λάβετε 24x.

$$-16x^{2}+24x+28-2=5x\left(2x-3\right)$$

Αφαιρέστε 2 από 28 για να λάβετε 26.

$$-16x^{2}+24x+26=5x\left(2x-3\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 5x με το 2x-3.

$$-16x^{2}+24x+26=10x^{2}-15x$$

Αφαιρέστε 10x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$-16x^{2}+24x+26-10x^{2}=-15x$$

Συνδυάστε το -16x^{2} και το -10x^{2} για να λάβετε -26x^{2}.

$$-26x^{2}+24x+26=-15x$$

Προσθήκη 15x και στις δύο πλευρές.

$$-26x^{2}+24x+26+15x=0$$

Συνδυάστε το 24x και το 15x για να λάβετε 39x.

$$-26x^{2}+39x+26=0$$

Αφαιρέστε 26 και από τις δύο πλευρές. Το υπόλοιπο της αφαίρεσης οποιουδήποτε αριθμού από το μηδέν ισούται με τον αντίστοιχο αρνητικό αριθμό.

$$-26x^{2}+39x=-26$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με -26.

$$\frac{-26x^{2}+39x}{-26}=-\frac{26}{-26}$$

Η διαίρεση με το -26 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το -26.

$$x^{2}+\frac{39}{-26}x=-\frac{26}{-26}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{39}{-26} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 13.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=-\frac{26}{-26}$$

Διαιρέστε το -26 με το -26.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=1$$

Διαιρέστε το -\frac{3}{2}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{3}{4}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{3}{4} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}=1+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{3}{4} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=1+\frac{9}{16}$$

Προσθέστε το 1 και το \frac{9}{16}.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{25}{16}$$

Παραγον x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{25}{16}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{16}}$$

Απλοποιήστε.

$$x-\frac{3}{4}=\frac{5}{4} x-\frac{3}{4}=-\frac{5}{4}$$

Προσθέστε \frac{3}{4} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=2 x=-\frac{1}{2}$$