Επίλυση (2a-5)^2/2-(a-3)^2+1/2geqa^2

$$\frac { ( 2 a - 5 ) ^ { 2 } } { 2 } - ( a - 3 ) ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \geq a ^ { 2 }$$

Λύση ως προς a

$$a\leq 1$$

Βήματα λύσης

Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με 2. Δεδομένου ότι το 2 είναι θετικό, η κατεύθυνση της ανισότητας παραμένει η ίδια.

$$2\left(\frac{\left(2a-5\right)^{2}}{2}-\left(a-3\right)^{2}\right)+1\geq 2a^{2}$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(2a-5\right)^{2}.

$$2\left(\frac{4a^{2}-20a+25}{2}-\left(a-3\right)^{2}\right)+1\geq 2a^{2}$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(a-3\right)^{2}.

$$2\left(\frac{4a^{2}-20a+25}{2}-\left(a^{2}-6a+9\right)\right)+1\geq 2a^{2}$$

Για να βρείτε τον αντίθετο του a^{2}-6a+9, βρείτε τον αντίθετο κάθε όρου.

$$2\left(\frac{4a^{2}-20a+25}{2}-a^{2}+6a-9\right)+1\geq 2a^{2}$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 2 με το \frac{4a^{2}-20a+25}{2}-a^{2}+6a-9.

$$2\times \frac{4a^{2}-20a+25}{2}-2a^{2}+12a-18+1\geq 2a^{2}$$

Έκφραση του 2\times \frac{4a^{2}-20a+25}{2} ως ενιαίου κλάσματος.

$$\frac{2\left(4a^{2}-20a+25\right)}{2}-2a^{2}+12a-18+1\geq 2a^{2}$$

Απαλείψτε το 2 και το 2.

$$4a^{2}-20a+25-2a^{2}+12a-18+1\geq 2a^{2}$$

Συνδυάστε το 4a^{2} και το -2a^{2} για να λάβετε 2a^{2}.

$$2a^{2}-20a+25+12a-18+1\geq 2a^{2}$$

Συνδυάστε το -20a και το 12a για να λάβετε -8a.

$$2a^{2}-8a+25-18+1\geq 2a^{2}$$

Αφαιρέστε 18 από 25 για να λάβετε 7.

$$2a^{2}-8a+7+1\geq 2a^{2}$$

Προσθέστε 7 και 1 για να λάβετε 8.

$$2a^{2}-8a+8\geq 2a^{2}$$

Αφαιρέστε 2a^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$2a^{2}-8a+8-2a^{2}\geq 0$$

Συνδυάστε το 2a^{2} και το -2a^{2} για να λάβετε 0.

$$-8a+8\geq 0$$

Αφαιρέστε 8 και από τις δύο πλευρές. Το υπόλοιπο της αφαίρεσης οποιουδήποτε αριθμού από το μηδέν ισούται με τον αντίστοιχο αρνητικό αριθμό.

$$-8a\geq -8$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με -8. Εφόσον το -8 είναι αρνητικό, η κατεύθυνση της ανισότητα αλλάζει.

$$a\leq \frac{-8}{-8}$$

Διαιρέστε το -8 με το -8 για να λάβετε 1.

$$a\leq 1$$