Επίλυση frac{(sqrt{5}-sqrt{2})(3sqrt{5}+sqrt{2})}{3sqrt{5}+2sqrt{2}}

$$\frac { ( \sqrt { 5 } - \sqrt { 2 } ) ( 3 \sqrt { 5 } + \sqrt { 2 } ) } { 3 \sqrt { 5 } + 2 \sqrt { 2 } }$$

Υπολογισμός

$$\frac{47\sqrt{5}-56\sqrt{2}}{37}\approx 0,699979336$$

Βήματα λύσης

Ρητοποιήστε τον παρονομαστή \frac{\left(\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)\left(3\sqrt{5}+\sqrt{2}\right)}{3\sqrt{5}+2\sqrt{2}} πολλαπλασιάζοντας τον αριθμητή και τον παρονομαστή με 3\sqrt{5}-2\sqrt{2}.

$$\frac{\left(\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)\left(3\sqrt{5}+\sqrt{2}\right)\left(3\sqrt{5}-2\sqrt{2}\right)}{\left(3\sqrt{5}+2\sqrt{2}\right)\left(3\sqrt{5}-2\sqrt{2}\right)}$$

Υπολογίστε \left(3\sqrt{5}+2\sqrt{2}\right)\left(3\sqrt{5}-2\sqrt{2}\right). Ο πολλαπλασιασμός μπορεί να μετατραπεί σε διαφορά τετραγώνων χρησιμοποιώντας τον κανόνα: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)\left(3\sqrt{5}+\sqrt{2}\right)\left(3\sqrt{5}-2\sqrt{2}\right)}{\left(3\sqrt{5}\right)^{2}-\left(2\sqrt{2}\right)^{2}}$$

Αναπτύξτε το \left(3\sqrt{5}\right)^{2}.

$$\frac{\left(\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)\left(3\sqrt{5}+\sqrt{2}\right)\left(3\sqrt{5}-2\sqrt{2}\right)}{3^{2}\left(\sqrt{5}\right)^{2}-\left(2\sqrt{2}\right)^{2}}$$

Υπολογίστε το 3στη δύναμη του 2 και λάβετε 9.

$$\frac{\left(\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)\left(3\sqrt{5}+\sqrt{2}\right)\left(3\sqrt{5}-2\sqrt{2}\right)}{9\left(\sqrt{5}\right)^{2}-\left(2\sqrt{2}\right)^{2}}$$

Το τετράγωνο του \sqrt{5} είναι 5.

$$\frac{\left(\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)\left(3\sqrt{5}+\sqrt{2}\right)\left(3\sqrt{5}-2\sqrt{2}\right)}{9\times 5-\left(2\sqrt{2}\right)^{2}}$$

Πολλαπλασιάστε 9 και 5 για να λάβετε 45.

$$\frac{\left(\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)\left(3\sqrt{5}+\sqrt{2}\right)\left(3\sqrt{5}-2\sqrt{2}\right)}{45-\left(2\sqrt{2}\right)^{2}}$$

Αναπτύξτε το \left(2\sqrt{2}\right)^{2}.

$$\frac{\left(\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)\left(3\sqrt{5}+\sqrt{2}\right)\left(3\sqrt{5}-2\sqrt{2}\right)}{45-2^{2}\left(\sqrt{2}\right)^{2}}$$

Υπολογίστε το 2στη δύναμη του 2 και λάβετε 4.

$$\frac{\left(\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)\left(3\sqrt{5}+\sqrt{2}\right)\left(3\sqrt{5}-2\sqrt{2}\right)}{45-4\left(\sqrt{2}\right)^{2}}$$

Το τετράγωνο του \sqrt{2} είναι 2.

$$\frac{\left(\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)\left(3\sqrt{5}+\sqrt{2}\right)\left(3\sqrt{5}-2\sqrt{2}\right)}{45-4\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε 4 και 2 για να λάβετε 8.

$$\frac{\left(\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)\left(3\sqrt{5}+\sqrt{2}\right)\left(3\sqrt{5}-2\sqrt{2}\right)}{45-8}$$

Αφαιρέστε 8 από 45 για να λάβετε 37.

$$\frac{\left(\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)\left(3\sqrt{5}+\sqrt{2}\right)\left(3\sqrt{5}-2\sqrt{2}\right)}{37}$$

Εφαρμόστε την επιμεριστική ιδιότητα πολλαπλασιάζοντας κάθε όρο του \sqrt{5}-\sqrt{2} με κάθε όρο του 3\sqrt{5}+\sqrt{2}.

$$\frac{\left(3\left(\sqrt{5}\right)^{2}+\sqrt{5}\sqrt{2}-3\sqrt{2}\sqrt{5}-\left(\sqrt{2}\right)^{2}\right)\left(3\sqrt{5}-2\sqrt{2}\right)}{37}$$

Το τετράγωνο του \sqrt{5} είναι 5.

$$\frac{\left(3\times 5+\sqrt{5}\sqrt{2}-3\sqrt{2}\sqrt{5}-\left(\sqrt{2}\right)^{2}\right)\left(3\sqrt{5}-2\sqrt{2}\right)}{37}$$

Πολλαπλασιάστε 3 και 5 για να λάβετε 15.

$$\frac{\left(15+\sqrt{5}\sqrt{2}-3\sqrt{2}\sqrt{5}-\left(\sqrt{2}\right)^{2}\right)\left(3\sqrt{5}-2\sqrt{2}\right)}{37}$$

Για να πολλαπλασιάστε \sqrt{5} και \sqrt{2}, πολλαπλασιάστε τους αριθμούς κάτω από την τετραγωνική ρίζα.

$$\frac{\left(15+\sqrt{10}-3\sqrt{2}\sqrt{5}-\left(\sqrt{2}\right)^{2}\right)\left(3\sqrt{5}-2\sqrt{2}\right)}{37}$$

Για να πολλαπλασιάστε \sqrt{2} και \sqrt{5}, πολλαπλασιάστε τους αριθμούς κάτω από την τετραγωνική ρίζα.

$$\frac{\left(15+\sqrt{10}-3\sqrt{10}-\left(\sqrt{2}\right)^{2}\right)\left(3\sqrt{5}-2\sqrt{2}\right)}{37}$$

Συνδυάστε το \sqrt{10} και το -3\sqrt{10} για να λάβετε -2\sqrt{10}.

$$\frac{\left(15-2\sqrt{10}-\left(\sqrt{2}\right)^{2}\right)\left(3\sqrt{5}-2\sqrt{2}\right)}{37}$$

Το τετράγωνο του \sqrt{2} είναι 2.

$$\frac{\left(15-2\sqrt{10}-2\right)\left(3\sqrt{5}-2\sqrt{2}\right)}{37}$$

Αφαιρέστε 2 από 15 για να λάβετε 13.

$$\frac{\left(13-2\sqrt{10}\right)\left(3\sqrt{5}-2\sqrt{2}\right)}{37}$$

Εφαρμόστε την επιμεριστική ιδιότητα πολλαπλασιάζοντας κάθε όρο του 13-2\sqrt{10} με κάθε όρο του 3\sqrt{5}-2\sqrt{2}.

$$\frac{39\sqrt{5}-26\sqrt{2}-6\sqrt{10}\sqrt{5}+4\sqrt{2}\sqrt{10}}{37}$$

Παραγοντοποιήστε με το 10=5\times 2. Γράψτε ξανά την τετραγωνική ρίζα του προϊόντος \sqrt{5\times 2} ως το γινόμενο των τετράγωνου ρίζες \sqrt{5}\sqrt{2}.

$$\frac{39\sqrt{5}-26\sqrt{2}-6\sqrt{5}\sqrt{2}\sqrt{5}+4\sqrt{2}\sqrt{10}}{37}$$

Πολλαπλασιάστε \sqrt{5} και \sqrt{5} για να λάβετε 5.

$$\frac{39\sqrt{5}-26\sqrt{2}-6\times 5\sqrt{2}+4\sqrt{2}\sqrt{10}}{37}$$

Πολλαπλασιάστε -6 και 5 για να λάβετε -30.

$$\frac{39\sqrt{5}-26\sqrt{2}-30\sqrt{2}+4\sqrt{2}\sqrt{10}}{37}$$

Συνδυάστε το -26\sqrt{2} και το -30\sqrt{2} για να λάβετε -56\sqrt{2}.

$$\frac{39\sqrt{5}-56\sqrt{2}+4\sqrt{2}\sqrt{10}}{37}$$

Παραγοντοποιήστε με το 10=2\times 5. Γράψτε ξανά την τετραγωνική ρίζα του προϊόντος \sqrt{2\times 5} ως το γινόμενο των τετράγωνου ρίζες \sqrt{2}\sqrt{5}.

$$\frac{39\sqrt{5}-56\sqrt{2}+4\sqrt{2}\sqrt{2}\sqrt{5}}{37}$$

Πολλαπλασιάστε \sqrt{2} και \sqrt{2} για να λάβετε 2.

$$\frac{39\sqrt{5}-56\sqrt{2}+4\times 2\sqrt{5}}{37}$$

Πολλαπλασιάστε 4 και 2 για να λάβετε 8.

$$\frac{39\sqrt{5}-56\sqrt{2}+8\sqrt{5}}{37}$$

Συνδυάστε το 39\sqrt{5} και το 8\sqrt{5} για να λάβετε 47\sqrt{5}.

$$\frac{47\sqrt{5}-56\sqrt{2}}{37}$$