Επίλυση frac{sqrt{7}+sqrt{5}}{sqrt{7}-sqrt{5}}+frac{sqrt{7}-sqrt{5}}{sqrt{7}+sqrt{5}}=

$$\frac { \sqrt { 7 } + \sqrt { 5 } } { \sqrt { 7 } - \sqrt { 5 } } + \frac { \sqrt { 7 } - \sqrt { 5 } } { \sqrt { 7 } + \sqrt { 5 } } =$$

Υπολογισμός

$$12$$

Βήματα λύσης

Ρητοποιήστε τον παρονομαστή \frac{\sqrt{7}+\sqrt{5}}{\sqrt{7}-\sqrt{5}} πολλαπλασιάζοντας τον αριθμητή και τον παρονομαστή με \sqrt{7}+\sqrt{5}.

$$\frac{\left(\sqrt{7}+\sqrt{5}\right)\left(\sqrt{7}+\sqrt{5}\right)}{\left(\sqrt{7}-\sqrt{5}\right)\left(\sqrt{7}+\sqrt{5}\right)}+\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}$$

Υπολογίστε \left(\sqrt{7}-\sqrt{5}\right)\left(\sqrt{7}+\sqrt{5}\right). Ο πολλαπλασιασμός μπορεί να μετατραπεί σε διαφορά τετραγώνων χρησιμοποιώντας τον κανόνα: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(\sqrt{7}+\sqrt{5}\right)\left(\sqrt{7}+\sqrt{5}\right)}{\left(\sqrt{7}\right)^{2}-\left(\sqrt{5}\right)^{2}}+\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}$$

Υψώστε το \sqrt{7} στο τετράγωνο. Υψώστε το \sqrt{5} στο τετράγωνο.

$$\frac{\left(\sqrt{7}+\sqrt{5}\right)\left(\sqrt{7}+\sqrt{5}\right)}{7-5}+\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}$$

Αφαιρέστε 5 από 7 για να λάβετε 2.

$$\frac{\left(\sqrt{7}+\sqrt{5}\right)\left(\sqrt{7}+\sqrt{5}\right)}{2}+\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}$$

Πολλαπλασιάστε \sqrt{7}+\sqrt{5} και \sqrt{7}+\sqrt{5} για να λάβετε \left(\sqrt{7}+\sqrt{5}\right)^{2}.

$$\frac{\left(\sqrt{7}+\sqrt{5}\right)^{2}}{2}+\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(\sqrt{7}+\sqrt{5}\right)^{2}.

$$\frac{\left(\sqrt{7}\right)^{2}+2\sqrt{7}\sqrt{5}+\left(\sqrt{5}\right)^{2}}{2}+\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}$$

Το τετράγωνο του \sqrt{7} είναι 7.

$$\frac{7+2\sqrt{7}\sqrt{5}+\left(\sqrt{5}\right)^{2}}{2}+\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}$$

Για να πολλαπλασιάστε \sqrt{7} και \sqrt{5}, πολλαπλασιάστε τους αριθμούς κάτω από την τετραγωνική ρίζα.

$$\frac{7+2\sqrt{35}+\left(\sqrt{5}\right)^{2}}{2}+\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}$$

Το τετράγωνο του \sqrt{5} είναι 5.

$$\frac{7+2\sqrt{35}+5}{2}+\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}$$

Προσθέστε 7 και 5 για να λάβετε 12.

$$\frac{12+2\sqrt{35}}{2}+\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}$$

Διαιρέστε κάθε όρο του 12+2\sqrt{35} με το 2 για να λάβετε 6+\sqrt{35}.

$$6+\sqrt{35}+\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}$$

Ρητοποιήστε τον παρονομαστή \frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{\sqrt{7}+\sqrt{5}} πολλαπλασιάζοντας τον αριθμητή και τον παρονομαστή με \sqrt{7}-\sqrt{5}.

$$6+\sqrt{35}+\frac{\left(\sqrt{7}-\sqrt{5}\right)\left(\sqrt{7}-\sqrt{5}\right)}{\left(\sqrt{7}+\sqrt{5}\right)\left(\sqrt{7}-\sqrt{5}\right)}$$

Υπολογίστε \left(\sqrt{7}+\sqrt{5}\right)\left(\sqrt{7}-\sqrt{5}\right). Ο πολλαπλασιασμός μπορεί να μετατραπεί σε διαφορά τετραγώνων χρησιμοποιώντας τον κανόνα: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$6+\sqrt{35}+\frac{\left(\sqrt{7}-\sqrt{5}\right)\left(\sqrt{7}-\sqrt{5}\right)}{\left(\sqrt{7}\right)^{2}-\left(\sqrt{5}\right)^{2}}$$

Υψώστε το \sqrt{7} στο τετράγωνο. Υψώστε το \sqrt{5} στο τετράγωνο.

$$6+\sqrt{35}+\frac{\left(\sqrt{7}-\sqrt{5}\right)\left(\sqrt{7}-\sqrt{5}\right)}{7-5}$$

Αφαιρέστε 5 από 7 για να λάβετε 2.

$$6+\sqrt{35}+\frac{\left(\sqrt{7}-\sqrt{5}\right)\left(\sqrt{7}-\sqrt{5}\right)}{2}$$

Πολλαπλασιάστε \sqrt{7}-\sqrt{5} και \sqrt{7}-\sqrt{5} για να λάβετε \left(\sqrt{7}-\sqrt{5}\right)^{2}.

$$6+\sqrt{35}+\frac{\left(\sqrt{7}-\sqrt{5}\right)^{2}}{2}$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(\sqrt{7}-\sqrt{5}\right)^{2}.

$$6+\sqrt{35}+\frac{\left(\sqrt{7}\right)^{2}-2\sqrt{7}\sqrt{5}+\left(\sqrt{5}\right)^{2}}{2}$$

Το τετράγωνο του \sqrt{7} είναι 7.

$$6+\sqrt{35}+\frac{7-2\sqrt{7}\sqrt{5}+\left(\sqrt{5}\right)^{2}}{2}$$

Για να πολλαπλασιάστε \sqrt{7} και \sqrt{5}, πολλαπλασιάστε τους αριθμούς κάτω από την τετραγωνική ρίζα.

$$6+\sqrt{35}+\frac{7-2\sqrt{35}+\left(\sqrt{5}\right)^{2}}{2}$$

Το τετράγωνο του \sqrt{5} είναι 5.

$$6+\sqrt{35}+\frac{7-2\sqrt{35}+5}{2}$$

Προσθέστε 7 και 5 για να λάβετε 12.

$$6+\sqrt{35}+\frac{12-2\sqrt{35}}{2}$$

Διαιρέστε κάθε όρο του 12-2\sqrt{35} με το 2 για να λάβετε 6-\sqrt{35}.

$$6+\sqrt{35}+6-\sqrt{35}$$

Προσθέστε 6 και 6 για να λάβετε 12.

$$12+\sqrt{35}-\sqrt{35}$$

Συνδυάστε το \sqrt{35} και το -\sqrt{35} για να λάβετε 0.

$$12$$

Παράγοντας

$$2^{2}\times 3$$