Επίλυση =4x+6quad(9)(x-1)^2+2(x-1)-3=0

$$= 4 x + 6 \quad ( 9 ) ( x - 1 ) ^ { 2 } + 2 ( x - 1 ) - 3 = 0$$

Λύση ως προς x (complex solution)

$$x=\frac{17+\sqrt{5}i}{18}\approx 0,944444444+0,124225999i$$

$$x=\frac{-\sqrt{5}i+17}{18}\approx 0,944444444-0,124225999i$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Πολλαπλασιάστε 6 και 9 για να λάβετε 54.

$$4x+54\left(x-1\right)^{2}+2\left(x-1\right)-3=0$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(x-1\right)^{2}.

$$4x+54\left(x^{2}-2x+1\right)+2\left(x-1\right)-3=0$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 54 με το x^{2}-2x+1.

$$4x+54x^{2}-108x+54+2\left(x-1\right)-3=0$$

Συνδυάστε το 4x και το -108x για να λάβετε -104x.

$$-104x+54x^{2}+54+2\left(x-1\right)-3=0$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 2 με το x-1.

$$-104x+54x^{2}+54+2x-2-3=0$$

Συνδυάστε το -104x και το 2x για να λάβετε -102x.

$$-102x+54x^{2}+54-2-3=0$$

Αφαιρέστε 2 από 54 για να λάβετε 52.

$$-102x+54x^{2}+52-3=0$$

Αφαιρέστε 3 από 52 για να λάβετε 49.

$$-102x+54x^{2}+49=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$54x^{2}-102x+49=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 54, το b με -102 και το c με 49 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-102\right)±\sqrt{\left(-102\right)^{2}-4\times 54\times 49}}{2\times 54}$$

Υψώστε το -102 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-102\right)±\sqrt{10404-4\times 54\times 49}}{2\times 54}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 54.

$$x=\frac{-\left(-102\right)±\sqrt{10404-216\times 49}}{2\times 54}$$

Πολλαπλασιάστε το -216 επί 49.

$$x=\frac{-\left(-102\right)±\sqrt{10404-10584}}{2\times 54}$$

Προσθέστε το 10404 και το -10584.

$$x=\frac{-\left(-102\right)±\sqrt{-180}}{2\times 54}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του -180.

$$x=\frac{-\left(-102\right)±6\sqrt{5}i}{2\times 54}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -102 είναι 102.

$$x=\frac{102±6\sqrt{5}i}{2\times 54}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 54.

$$x=\frac{102±6\sqrt{5}i}{108}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{102±6\sqrt{5}i}{108} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 102 και το 6i\sqrt{5}.

$$x=\frac{102+6\sqrt{5}i}{108}$$

Διαιρέστε το 102+6i\sqrt{5} με το 108.

$$x=\frac{17+\sqrt{5}i}{18}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{102±6\sqrt{5}i}{108} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 6i\sqrt{5} από 102.

$$x=\frac{-6\sqrt{5}i+102}{108}$$

Διαιρέστε το 102-6i\sqrt{5} με το 108.

$$x=\frac{-\sqrt{5}i+17}{18}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=\frac{17+\sqrt{5}i}{18} x=\frac{-\sqrt{5}i+17}{18}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Πολλαπλασιάστε 6 και 9 για να λάβετε 54.

$$4x+54\left(x-1\right)^{2}+2\left(x-1\right)-3=0$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(x-1\right)^{2}.

$$4x+54\left(x^{2}-2x+1\right)+2\left(x-1\right)-3=0$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 54 με το x^{2}-2x+1.

$$4x+54x^{2}-108x+54+2\left(x-1\right)-3=0$$

Συνδυάστε το 4x και το -108x για να λάβετε -104x.

$$-104x+54x^{2}+54+2\left(x-1\right)-3=0$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 2 με το x-1.

$$-104x+54x^{2}+54+2x-2-3=0$$

Συνδυάστε το -104x και το 2x για να λάβετε -102x.

$$-102x+54x^{2}+54-2-3=0$$

Αφαιρέστε 2 από 54 για να λάβετε 52.

$$-102x+54x^{2}+52-3=0$$

Αφαιρέστε 3 από 52 για να λάβετε 49.

$$-102x+54x^{2}+49=0$$

Αφαιρέστε 49 και από τις δύο πλευρές. Το υπόλοιπο της αφαίρεσης οποιουδήποτε αριθμού από το μηδέν ισούται με τον αντίστοιχο αρνητικό αριθμό.

$$-102x+54x^{2}=-49$$

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$54x^{2}-102x=-49$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 54.

$$\frac{54x^{2}-102x}{54}=-\frac{49}{54}$$

Η διαίρεση με το 54 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 54.

$$x^{2}+\left(-\frac{102}{54}\right)x=-\frac{49}{54}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-102}{54} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 6.

$$x^{2}-\frac{17}{9}x=-\frac{49}{54}$$

Διαιρέστε το -\frac{17}{9}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{17}{18}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{17}{18} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-\frac{17}{9}x+\left(-\frac{17}{18}\right)^{2}=-\frac{49}{54}+\left(-\frac{17}{18}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{17}{18} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}-\frac{17}{9}x+\frac{289}{324}=-\frac{49}{54}+\frac{289}{324}$$

Προσθέστε το -\frac{49}{54} και το \frac{289}{324} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}-\frac{17}{9}x+\frac{289}{324}=-\frac{5}{324}$$

Παραγον x^{2}-\frac{17}{9}x+\frac{289}{324}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{17}{18}\right)^{2}=-\frac{5}{324}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-\frac{17}{18}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{5}{324}}$$

Απλοποιήστε.

$$x-\frac{17}{18}=\frac{\sqrt{5}i}{18} x-\frac{17}{18}=-\frac{\sqrt{5}i}{18}$$

Προσθέστε \frac{17}{18} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=\frac{17+\sqrt{5}i}{18} x=\frac{-\sqrt{5}i+17}{18}$$