Επίλυση =25a^2-35a+12

$$= 25 a ^ { 2 } - 35 a + 12$$

Παράγοντας

$$\left(5a-4\right)\left(5a-3\right)$$

Βήματα λύσης

Παραγοντοποιήστε την παράσταση με ομαδοποίηση. Αρχικά, η παράσταση πρέπει να γραφτεί ξανά ως 25a^{2}+pa+qa+12. Για να βρείτε p και q, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$p+q=-35 pq=25\times 12=300$$

Εφόσον pq είναι θετική, p και q έχουν το ίδιο πρόσημο. Εφόσον το p+q είναι αρνητικό, το p και οι q είναι αρνητικά. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 300.

$$-1,-300 -2,-150 -3,-100 -4,-75 -5,-60 -6,-50 -10,-30 -12,-25 -15,-20$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1-300=-301 -2-150=-152 -3-100=-103 -4-75=-79 -5-60=-65 -6-50=-56 -10-30=-40 -12-25=-37 -15-20=-35$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -35.

$$p=-20 q=-15$$

Γράψτε πάλι το 25a^{2}-35a+12 ως \left(25a^{2}-20a\right)+\left(-15a+12\right).

$$\left(25a^{2}-20a\right)+\left(-15a+12\right)$$

Παραγοντοποιήστε 5a στο πρώτο και στο -3 της δεύτερης ομάδας.

$$5a\left(5a-4\right)-3\left(5a-4\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 5a-4 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(5a-4\right)\left(5a-3\right)$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η τετραγωνική πολυωνυμική εξίσωση μπορεί να παραγοντοποιηθεί, χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), όπου x_{1} και x_{2} είναι οι λύσεις της τετραγωνικής εξίσωσης ax^{2}+bx+c=0.

$$25a^{2}-35a+12=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$a=\frac{-\left(-35\right)±\sqrt{\left(-35\right)^{2}-4\times 25\times 12}}{2\times 25}$$

Υψώστε το -35 στο τετράγωνο.

$$a=\frac{-\left(-35\right)±\sqrt{1225-4\times 25\times 12}}{2\times 25}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 25.

$$a=\frac{-\left(-35\right)±\sqrt{1225-100\times 12}}{2\times 25}$$

Πολλαπλασιάστε το -100 επί 12.

$$a=\frac{-\left(-35\right)±\sqrt{1225-1200}}{2\times 25}$$

Προσθέστε το 1225 και το -1200.

$$a=\frac{-\left(-35\right)±\sqrt{25}}{2\times 25}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 25.

$$a=\frac{-\left(-35\right)±5}{2\times 25}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -35 είναι 35.

$$a=\frac{35±5}{2\times 25}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 25.

$$a=\frac{35±5}{50}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση a=\frac{35±5}{50} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 35 και το 5.

$$a=\frac{40}{50}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{40}{50} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 10.

$$a=\frac{4}{5}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση a=\frac{35±5}{50} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 5 από 35.

$$a=\frac{30}{50}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{30}{50} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 10.

$$a=\frac{3}{5}$$

Υπολογίστε την αρχική παράσταση χρησιμοποιώντας το ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Αντικαταστήστε το \frac{4}{5} με το x_{1} και το \frac{3}{5} με το x_{2}.

$$25a^{2}-35a+12=25\left(a-\frac{4}{5}\right)\left(a-\frac{3}{5}\right)$$

Αφαιρέστε a από \frac{4}{5} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και αφαιρώντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$25a^{2}-35a+12=25\times \frac{5a-4}{5}\left(a-\frac{3}{5}\right)$$

Αφαιρέστε a από \frac{3}{5} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και αφαιρώντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$25a^{2}-35a+12=25\times \frac{5a-4}{5}\times \frac{5a-3}{5}$$

Πολλαπλασιάστε το \frac{5a-4}{5} επί \frac{5a-3}{5} πολλαπλασιάζοντας τον αριθμητή επί τον αριθμητή και τον παρονομαστή επί τον παρονομαστή. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους όρους, εάν είναι δυνατό.

$$25a^{2}-35a+12=25\times \frac{\left(5a-4\right)\left(5a-3\right)}{5\times 5}$$

Πολλαπλασιάστε το 5 επί 5.

$$25a^{2}-35a+12=25\times \frac{\left(5a-4\right)\left(5a-3\right)}{25}$$

Ακύρωση του μέγιστου κοινού παράγοντα 25 σε 25 και 25.

$$25a^{2}-35a+12=\left(5a-4\right)\left(5a-3\right)$$

Υπολογισμός

$$\left(5a-4\right)\left(5a-3\right)$$