Επίλυση =20x^4+31x^2-9

$$= 20 x ^ { 4 } + 31 x ^ { 2 } - 9$$

Παράγοντας

$$\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)\left(5x^{2}+9\right)$$

Βήματα λύσης

Για να παραγοντοποιήστε την παράσταση, λύσετε την εξίσωση όπου ισούται με 0.

$$20x^{4}+31x^{2}-9=0$$

Από τη ρητών ρίζας θεώρημα, όλες οι ρητών ρίζες ενός πολυωνύμου βρίσκονται στη \frac{p}{q} φόρμας, όπου p διαιρείται τη σταθερή -9 όρων και q διαιρείται τον αρχικό συντελεστή 20. Λίστα όλων των υποψηφίων \frac{p}{q}.

$$±\frac{9}{20},±\frac{9}{10},±\frac{9}{5},±\frac{9}{4},±\frac{9}{2},±9,±\frac{3}{20},±\frac{3}{10},±\frac{3}{5},±\frac{3}{4},±\frac{3}{2},±3,±\frac{1}{20},±\frac{1}{10},±\frac{1}{5},±\frac{1}{4},±\frac{1}{2},±1$$

Βρείτε μία τέτοια ρίζα, δοκιμάζοντας όλες τις ακέραιες τιμές, ξεκινώντας από τη μικρότερη κατά απόλυτη τιμή. Αν δεν βρεθούν ακέραιες ρίζες, δοκιμάστε κλάσματα.

$$x=\frac{1}{2}$$

Κατά παράγοντα θεώρημα, x-k είναι ένας συντελεστής του πολυωνύμου για κάθε ριζικό k. Διαιρέστε το 20x^{4}+31x^{2}-9 με το 2\left(x-\frac{1}{2}\right)=2x-1 για να λάβετε 10x^{3}+5x^{2}+18x+9. Για να παραγοντοποιήστε το αποτέλεσμα, λύσετε την εξίσωση όπου ισούται με 0.

$$10x^{3}+5x^{2}+18x+9=0$$

Από τη ρητών ρίζας θεώρημα, όλες οι ρητών ρίζες ενός πολυωνύμου βρίσκονται στη \frac{p}{q} φόρμας, όπου p διαιρείται τη σταθερή 9 όρων και q διαιρείται τον αρχικό συντελεστή 10. Λίστα όλων των υποψηφίων \frac{p}{q}.

$$±\frac{9}{10},±\frac{9}{5},±\frac{9}{2},±9,±\frac{3}{10},±\frac{3}{5},±\frac{3}{2},±3,±\frac{1}{10},±\frac{1}{5},±\frac{1}{2},±1$$

Βρείτε μία τέτοια ρίζα, δοκιμάζοντας όλες τις ακέραιες τιμές, ξεκινώντας από τη μικρότερη κατά απόλυτη τιμή. Αν δεν βρεθούν ακέραιες ρίζες, δοκιμάστε κλάσματα.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Κατά παράγοντα θεώρημα, x-k είναι ένας συντελεστής του πολυωνύμου για κάθε ριζικό k. Διαιρέστε το 10x^{3}+5x^{2}+18x+9 με το 2\left(x+\frac{1}{2}\right)=2x+1 για να λάβετε 5x^{2}+9. Για να παραγοντοποιήστε το αποτέλεσμα, λύσετε την εξίσωση όπου ισούται με 0.

$$5x^{2}+9=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να επιλυθούν χρησιμοποιώντας τον πολυωνυμικό τύπο: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Υποκαταστήστε 5 για a, 0 για b και 9 για c στον πολυωνυμικό τύπου.

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 5\times 9}}{2\times 5}$$

Κάντε τους υπολογισμούς.

$$x=\frac{0±\sqrt{-180}}{10}$$

Το πολυώνυμο 5x^{2}+9 δεν έχει παραγοντοποιηθεί, επειδή δεν έχει λογικές ρίζες.

$$5x^{2}+9$$

Γράψτε ξανά την παραγοντοποιημένη παράσταση χρησιμοποιώντας τις ρίζες που έχουν ληφθεί.

$$\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)\left(5x^{2}+9\right)$$

Υπολογισμός

$$20x^{4}+31x^{2}-9$$