Επίλυση =frac{sqrt{5}+sqrt{3}}{sqrt{5}-sqrt{3}}+frac{sqrt{5}-sqrt{3}}{sqrt{5}+sqrt{3}}

$$= \frac { \sqrt { 5 } + \sqrt { 3 } } { \sqrt { 5 } - \sqrt { 3 } } + \frac { \sqrt { 5 } - \sqrt { 3 } } { \sqrt { 5 } + \sqrt { 3 } }$$

Υπολογισμός

$$8$$

Βήματα λύσης

Ρητοποιήστε τον παρονομαστή \frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} πολλαπλασιάζοντας τον αριθμητή και τον παρονομαστή με \sqrt{5}+\sqrt{3}.

$$\frac{\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)}{\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)}+\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$$

Υπολογίστε \left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right). Ο πολλαπλασιασμός μπορεί να μετατραπεί σε διαφορά τετραγώνων χρησιμοποιώντας τον κανόνα: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)}{\left(\sqrt{5}\right)^{2}-\left(\sqrt{3}\right)^{2}}+\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$$

Υψώστε το \sqrt{5} στο τετράγωνο. Υψώστε το \sqrt{3} στο τετράγωνο.

$$\frac{\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)}{5-3}+\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$$

Αφαιρέστε 3 από 5 για να λάβετε 2.

$$\frac{\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)}{2}+\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$$

Πολλαπλασιάστε \sqrt{5}+\sqrt{3} και \sqrt{5}+\sqrt{3} για να λάβετε \left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)^{2}.

$$\frac{\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)^{2}}{2}+\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)^{2}.

$$\frac{\left(\sqrt{5}\right)^{2}+2\sqrt{5}\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{2}+\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$$

Το τετράγωνο του \sqrt{5} είναι 5.

$$\frac{5+2\sqrt{5}\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{2}+\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$$

Για να πολλαπλασιάστε \sqrt{5} και \sqrt{3}, πολλαπλασιάστε τους αριθμούς κάτω από την τετραγωνική ρίζα.

$$\frac{5+2\sqrt{15}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{2}+\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$$

Το τετράγωνο του \sqrt{3} είναι 3.

$$\frac{5+2\sqrt{15}+3}{2}+\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$$

Προσθέστε 5 και 3 για να λάβετε 8.

$$\frac{8+2\sqrt{15}}{2}+\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$$

Διαιρέστε κάθε όρο του 8+2\sqrt{15} με το 2 για να λάβετε 4+\sqrt{15}.

$$4+\sqrt{15}+\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$$

Ρητοποιήστε τον παρονομαστή \frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}} πολλαπλασιάζοντας τον αριθμητή και τον παρονομαστή με \sqrt{5}-\sqrt{3}.

$$4+\sqrt{15}+\frac{\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)}{\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)}$$

Υπολογίστε \left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right). Ο πολλαπλασιασμός μπορεί να μετατραπεί σε διαφορά τετραγώνων χρησιμοποιώντας τον κανόνα: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$4+\sqrt{15}+\frac{\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)}{\left(\sqrt{5}\right)^{2}-\left(\sqrt{3}\right)^{2}}$$

Υψώστε το \sqrt{5} στο τετράγωνο. Υψώστε το \sqrt{3} στο τετράγωνο.

$$4+\sqrt{15}+\frac{\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)}{5-3}$$

Αφαιρέστε 3 από 5 για να λάβετε 2.

$$4+\sqrt{15}+\frac{\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)}{2}$$

Πολλαπλασιάστε \sqrt{5}-\sqrt{3} και \sqrt{5}-\sqrt{3} για να λάβετε \left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)^{2}.

$$4+\sqrt{15}+\frac{\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)^{2}}{2}$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)^{2}.

$$4+\sqrt{15}+\frac{\left(\sqrt{5}\right)^{2}-2\sqrt{5}\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{2}$$

Το τετράγωνο του \sqrt{5} είναι 5.

$$4+\sqrt{15}+\frac{5-2\sqrt{5}\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{2}$$

Για να πολλαπλασιάστε \sqrt{5} και \sqrt{3}, πολλαπλασιάστε τους αριθμούς κάτω από την τετραγωνική ρίζα.

$$4+\sqrt{15}+\frac{5-2\sqrt{15}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{2}$$

Το τετράγωνο του \sqrt{3} είναι 3.

$$4+\sqrt{15}+\frac{5-2\sqrt{15}+3}{2}$$

Προσθέστε 5 και 3 για να λάβετε 8.

$$4+\sqrt{15}+\frac{8-2\sqrt{15}}{2}$$

Διαιρέστε κάθε όρο του 8-2\sqrt{15} με το 2 για να λάβετε 4-\sqrt{15}.

$$4+\sqrt{15}+4-\sqrt{15}$$

Προσθέστε 4 και 4 για να λάβετε 8.

$$8+\sqrt{15}-\sqrt{15}$$

Συνδυάστε το \sqrt{15} και το -\sqrt{15} για να λάβετε 0.

$$8$$

Παράγοντας

$$2^{3}$$