z^2+3z+1=5 lösen

$$z ^ { 2 } + 3 z + 1 = 5$$

Nach z auflösen

$$z=-4$$

$$z=1$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung

Subtrahieren Sie 5 von beiden Seiten.

$$z^{2}+3z+1-5=0$$

Subtrahieren Sie 5 von 1, um -4 zu erhalten.

$$z^{2}+3z-4=0$$

Um die Gleichung, den Faktor z^{2}+3z-4 mithilfe der Formel z^{2}+\left(a+b\right)z+ab=\left(z+a\right)\left(z+b\right) zu lösen. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=3 ab=-4$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, hat die positive Zahl einen größeren Absolutwert als die negative. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -4 ergeben.

$$-1,4 -2,2$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1+4=3 -2+2=0$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 3 ergibt.

$$a=-1 b=4$$

Schreiben Sie den faktorisierten Ausdruck "\left(z+a\right)\left(z+b\right)" mit den erhaltenen Werten um.

$$\left(z-1\right)\left(z+4\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie z-1=0 und z+4=0.

$$z=1 z=-4$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Subtrahieren Sie 5 von beiden Seiten.

$$z^{2}+3z+1-5=0$$

Subtrahieren Sie 5 von 1, um -4 zu erhalten.

$$z^{2}+3z-4=0$$

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als z^{2}+az+bz-4 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=3 ab=1\left(-4\right)=-4$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, hat die positive Zahl einen größeren Absolutwert als die negative. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -4 ergeben.

$$-1,4 -2,2$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1+4=3 -2+2=0$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 3 ergibt.

$$a=-1 b=4$$

z^{2}+3z-4 als \left(z^{2}-z\right)+\left(4z-4\right) umschreiben.

$$\left(z^{2}-z\right)+\left(4z-4\right)$$

Klammern Sie z in der ersten und 4 in der zweiten Gruppe aus.

$$z\left(z-1\right)+4\left(z-1\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term z-1 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(z-1\right)\left(z+4\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie z-1=0 und z+4=0.

$$z=1 z=-4$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$z^{2}+3z+1=5$$

5 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$z^{2}+3z+1-5=5-5$$

Die Subtraktion von 5 von sich selbst ergibt 0.

$$z^{2}+3z+1-5=0$$

Subtrahieren Sie 5 von 1.

$$z^{2}+3z-4=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 1, b durch 3 und c durch -4, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$z=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-4\right)}}{2}$$

3 zum Quadrat.

$$z=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-4\right)}}{2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -4.

$$z=\frac{-3±\sqrt{9+16}}{2}$$

Addieren Sie 9 zu 16.

$$z=\frac{-3±\sqrt{25}}{2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 25.

$$z=\frac{-3±5}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung z=\frac{-3±5}{2}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -3 zu 5.

$$z=\frac{2}{2}$$

Dividieren Sie 2 durch 2.

$$z=1$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung z=\frac{-3±5}{2}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 5 von -3.

$$z=-\frac{8}{2}$$

Dividieren Sie -8 durch 2.

$$z=-4$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$z=1 z=-4$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$z^{2}+3z+1=5$$

1 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$z^{2}+3z+1-1=5-1$$

Die Subtraktion von 1 von sich selbst ergibt 0.

$$z^{2}+3z=5-1$$

Subtrahieren Sie 1 von 5.

$$z^{2}+3z=4$$

Dividieren Sie 3, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{3}{2} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{3}{2} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$z^{2}+3z+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=4+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{3}{2}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$z^{2}+3z+\frac{9}{4}=4+\frac{9}{4}$$

Addieren Sie 4 zu \frac{9}{4}.

$$z^{2}+3z+\frac{9}{4}=\frac{25}{4}$$

Faktor z^{2}+3z+\frac{9}{4}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(z+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{25}{4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(z+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{4}}$$

Vereinfachen.

$$z+\frac{3}{2}=\frac{5}{2} z+\frac{3}{2}=-\frac{5}{2}$$

\frac{3}{2} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$z=1 z=-4$$