z^2+2/5z+1=0 lösen

$$z ^ { 2 } + \frac { 2 } { 5 } z + 1 = 0$$

Nach z auflösen

$$z=\frac{-1+2\sqrt{6}i}{5}\approx -0,2+0,979795897i$$

$$z=\frac{-2\sqrt{6}i-1}{5}\approx -0,2-0,979795897i$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$z^{2}+\frac{2}{5}z+1=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 1, b durch \frac{2}{5} und c durch 1, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$z=\frac{-\frac{2}{5}±\sqrt{\left(\frac{2}{5}\right)^{2}-4}}{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{2}{5}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$z=\frac{-\frac{2}{5}±\sqrt{\frac{4}{25}-4}}{2}$$

Addieren Sie \frac{4}{25} zu -4.

$$z=\frac{-\frac{2}{5}±\sqrt{-\frac{96}{25}}}{2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus -\frac{96}{25}.

$$z=\frac{-\frac{2}{5}±\frac{4\sqrt{6}i}{5}}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung z=\frac{-\frac{2}{5}±\frac{4\sqrt{6}i}{5}}{2}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -\frac{2}{5} zu \frac{4i\sqrt{6}}{5}.

$$z=\frac{-2+4\sqrt{6}i}{2\times 5}$$

Dividieren Sie \frac{-2+4i\sqrt{6}}{5} durch 2.

$$z=\frac{-1+2\sqrt{6}i}{5}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung z=\frac{-\frac{2}{5}±\frac{4\sqrt{6}i}{5}}{2}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie \frac{4i\sqrt{6}}{5} von -\frac{2}{5}.

$$z=\frac{-4\sqrt{6}i-2}{2\times 5}$$

Dividieren Sie \frac{-2-4i\sqrt{6}}{5} durch 2.

$$z=\frac{-2\sqrt{6}i-1}{5}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$z=\frac{-1+2\sqrt{6}i}{5} z=\frac{-2\sqrt{6}i-1}{5}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$z^{2}+\frac{2}{5}z+1=0$$

1 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$z^{2}+\frac{2}{5}z+1-1=-1$$

Die Subtraktion von 1 von sich selbst ergibt 0.

$$z^{2}+\frac{2}{5}z=-1$$

Dividieren Sie \frac{2}{5}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{1}{5} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{1}{5} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$z^{2}+\frac{2}{5}z+\left(\frac{1}{5}\right)^{2}=-1+\left(\frac{1}{5}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{1}{5}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$z^{2}+\frac{2}{5}z+\frac{1}{25}=-1+\frac{1}{25}$$

Addieren Sie -1 zu \frac{1}{25}.

$$z^{2}+\frac{2}{5}z+\frac{1}{25}=-\frac{24}{25}$$

Faktor z^{2}+\frac{2}{5}z+\frac{1}{25}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(z+\frac{1}{5}\right)^{2}=-\frac{24}{25}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(z+\frac{1}{5}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{24}{25}}$$

Vereinfachen.

$$z+\frac{1}{5}=\frac{2\sqrt{6}i}{5} z+\frac{1}{5}=-\frac{2\sqrt{6}i}{5}$$

\frac{1}{5} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$z=\frac{-1+2\sqrt{6}i}{5} z=\frac{-2\sqrt{6}i-1}{5}$$