y^2-8y+12=0 lösen

$$y ^ { 2 } - 8 y + 12 = 0$$

Nach y auflösen

$$y=2$$

$$y=6$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie y^{2}-8y+12 mithilfe der Formel y^{2}+\left(a+b\right)y+ab=\left(y+a\right)\left(y+b\right). Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-8 ab=12$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, sind a und b beide negativ. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 12 ergeben.

$$-1,-12 -2,-6 -3,-4$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1-12=-13 -2-6=-8 -3-4=-7$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -8 ergibt.

$$a=-6 b=-2$$

Schreiben Sie den faktorisierten Ausdruck "\left(y+a\right)\left(y+b\right)" mit den erhaltenen Werten um.

$$\left(y-6\right)\left(y-2\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie y-6=0 und y-2=0.

$$y=6 y=2$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als y^{2}+ay+by+12 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-8 ab=1\times 12=12$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, sind a und b beide negativ. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 12 ergeben.

$$-1,-12 -2,-6 -3,-4$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1-12=-13 -2-6=-8 -3-4=-7$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -8 ergibt.

$$a=-6 b=-2$$

y^{2}-8y+12 als \left(y^{2}-6y\right)+\left(-2y+12\right) umschreiben.

$$\left(y^{2}-6y\right)+\left(-2y+12\right)$$

Klammern Sie y in der ersten und -2 in der zweiten Gruppe aus.

$$y\left(y-6\right)-2\left(y-6\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term y-6 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(y-6\right)\left(y-2\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie y-6=0 und y-2=0.

$$y=6 y=2$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$y^{2}-8y+12=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 1, b durch -8 und c durch 12, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 12}}{2}$$

-8 zum Quadrat.

$$y=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 12}}{2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 12.

$$y=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-48}}{2}$$

Addieren Sie 64 zu -48.

$$y=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{16}}{2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 16.

$$y=\frac{-\left(-8\right)±4}{2}$$

Das Gegenteil von -8 ist 8.

$$y=\frac{8±4}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung y=\frac{8±4}{2}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 8 zu 4.

$$y=\frac{12}{2}$$

Dividieren Sie 12 durch 2.

$$y=6$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung y=\frac{8±4}{2}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 4 von 8.

$$y=\frac{4}{2}$$

Dividieren Sie 4 durch 2.

$$y=2$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$y=6 y=2$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$y^{2}-8y+12=0$$

12 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$y^{2}-8y+12-12=-12$$

Die Subtraktion von 12 von sich selbst ergibt 0.

$$y^{2}-8y=-12$$

Dividieren Sie -8, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -4 zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -4 zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$y^{2}-8y+\left(-4\right)^{2}=-12+\left(-4\right)^{2}$$

-4 zum Quadrat.

$$y^{2}-8y+16=-12+16$$

Addieren Sie -12 zu 16.

$$y^{2}-8y+16=4$$

Faktor y^{2}-8y+16. Wenn es sich bei x^{2}+bx+c um ein perfektes Quadrat handelt, kann es immer in der Form von \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisiert werden.

$$\left(y-4\right)^{2}=4$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(y-4\right)^{2}}=\sqrt{4}$$

Vereinfachen.

$$y-4=2 y-4=-2$$

Addieren Sie 4 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$y=6 y=2$$