y^2-28y+192=0 lösen

$$y ^ { 2 } - 28 y + 192 = 0$$

Nach y auflösen

$$y=12$$

$$y=16$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung

Um die Gleichung, den Faktor y^{2}-28y+192 mithilfe der Formel y^{2}+\left(a+b\right)y+ab=\left(y+a\right)\left(y+b\right) zu lösen. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-28 ab=192$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, sind a und b beide negativ. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 192 ergeben.

$$-1,-192 -2,-96 -3,-64 -4,-48 -6,-32 -8,-24 -12,-16$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1-192=-193 -2-96=-98 -3-64=-67 -4-48=-52 -6-32=-38 -8-24=-32 -12-16=-28$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -28 ergibt.

$$a=-16 b=-12$$

Schreiben Sie den faktorisierten Ausdruck "\left(y+a\right)\left(y+b\right)" mit den erhaltenen Werten um.

$$\left(y-16\right)\left(y-12\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie y-16=0 und y-12=0.

$$y=16 y=12$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als y^{2}+ay+by+192 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-28 ab=1\times 192=192$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, sind a und b beide negativ. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 192 ergeben.

$$-1,-192 -2,-96 -3,-64 -4,-48 -6,-32 -8,-24 -12,-16$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1-192=-193 -2-96=-98 -3-64=-67 -4-48=-52 -6-32=-38 -8-24=-32 -12-16=-28$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -28 ergibt.

$$a=-16 b=-12$$

y^{2}-28y+192 als \left(y^{2}-16y\right)+\left(-12y+192\right) umschreiben.

$$\left(y^{2}-16y\right)+\left(-12y+192\right)$$

Klammern Sie y in der ersten und -12 in der zweiten Gruppe aus.

$$y\left(y-16\right)-12\left(y-16\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term y-16 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(y-16\right)\left(y-12\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie y-16=0 und y-12=0.

$$y=16 y=12$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$y^{2}-28y+192=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 1, b durch -28 und c durch 192, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{\left(-28\right)^{2}-4\times 192}}{2}$$

-28 zum Quadrat.

$$y=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{784-4\times 192}}{2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 192.

$$y=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{784-768}}{2}$$

Addieren Sie 784 zu -768.

$$y=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{16}}{2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 16.

$$y=\frac{-\left(-28\right)±4}{2}$$

Das Gegenteil von -28 ist 28.

$$y=\frac{28±4}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung y=\frac{28±4}{2}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 28 zu 4.

$$y=\frac{32}{2}$$

Dividieren Sie 32 durch 2.

$$y=16$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung y=\frac{28±4}{2}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 4 von 28.

$$y=\frac{24}{2}$$

Dividieren Sie 24 durch 2.

$$y=12$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$y=16 y=12$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$y^{2}-28y+192=0$$

192 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$y^{2}-28y+192-192=-192$$

Die Subtraktion von 192 von sich selbst ergibt 0.

$$y^{2}-28y=-192$$

Dividieren Sie -28, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -14 zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -14 zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$y^{2}-28y+\left(-14\right)^{2}=-192+\left(-14\right)^{2}$$

-14 zum Quadrat.

$$y^{2}-28y+196=-192+196$$

Addieren Sie -192 zu 196.

$$y^{2}-28y+196=4$$

Faktor y^{2}-28y+196. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(y-14\right)^{2}=4$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(y-14\right)^{2}}=\sqrt{4}$$

Vereinfachen.

$$y-14=2 y-14=-2$$

Addieren Sie 14 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$y=16 y=12$$