y^2-14y+33=0 lösen

$$y ^ { 2 } - 14 y + 33 = 0$$

Nach y auflösen

$$y=3$$

$$y=11$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung

Um die Gleichung, den Faktor y^{2}-14y+33 mithilfe der Formel y^{2}+\left(a+b\right)y+ab=\left(y+a\right)\left(y+b\right) zu lösen. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-14 ab=33$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, sind a und b beide negativ. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 33 ergeben.

$$-1,-33 -3,-11$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1-33=-34 -3-11=-14$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -14 ergibt.

$$a=-11 b=-3$$

Schreiben Sie den faktorisierten Ausdruck "\left(y+a\right)\left(y+b\right)" mit den erhaltenen Werten um.

$$\left(y-11\right)\left(y-3\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie y-11=0 und y-3=0.

$$y=11 y=3$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als y^{2}+ay+by+33 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-14 ab=1\times 33=33$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, sind a und b beide negativ. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 33 ergeben.

$$-1,-33 -3,-11$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1-33=-34 -3-11=-14$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -14 ergibt.

$$a=-11 b=-3$$

y^{2}-14y+33 als \left(y^{2}-11y\right)+\left(-3y+33\right) umschreiben.

$$\left(y^{2}-11y\right)+\left(-3y+33\right)$$

Klammern Sie y in der ersten und -3 in der zweiten Gruppe aus.

$$y\left(y-11\right)-3\left(y-11\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term y-11 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(y-11\right)\left(y-3\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie y-11=0 und y-3=0.

$$y=11 y=3$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$y^{2}-14y+33=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 1, b durch -14 und c durch 33, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 33}}{2}$$

-14 zum Quadrat.

$$y=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 33}}{2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 33.

$$y=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-132}}{2}$$

Addieren Sie 196 zu -132.

$$y=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{64}}{2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 64.

$$y=\frac{-\left(-14\right)±8}{2}$$

Das Gegenteil von -14 ist 14.

$$y=\frac{14±8}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung y=\frac{14±8}{2}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 14 zu 8.

$$y=\frac{22}{2}$$

Dividieren Sie 22 durch 2.

$$y=11$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung y=\frac{14±8}{2}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 8 von 14.

$$y=\frac{6}{2}$$

Dividieren Sie 6 durch 2.

$$y=3$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$y=11 y=3$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$y^{2}-14y+33=0$$

33 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$y^{2}-14y+33-33=-33$$

Die Subtraktion von 33 von sich selbst ergibt 0.

$$y^{2}-14y=-33$$

Dividieren Sie -14, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -7 zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -7 zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$y^{2}-14y+\left(-7\right)^{2}=-33+\left(-7\right)^{2}$$

-7 zum Quadrat.

$$y^{2}-14y+49=-33+49$$

Addieren Sie -33 zu 49.

$$y^{2}-14y+49=16$$

Faktor y^{2}-14y+49. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(y-7\right)^{2}=16$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(y-7\right)^{2}}=\sqrt{16}$$

Vereinfachen.

$$y-7=4 y-7=-4$$

Addieren Sie 7 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$y=11 y=3$$