y^2-10y+16=0 lösen

$$y ^ { 2 } - 10 y + 16 = 0$$

Nach y auflösen

$$y=2$$

$$y=8$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung

Um die Gleichung, den Faktor y^{2}-10y+16 mithilfe der Formel y^{2}+\left(a+b\right)y+ab=\left(y+a\right)\left(y+b\right) zu lösen. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-10 ab=16$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, sind a und b beide negativ. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 16 ergeben.

$$-1,-16 -2,-8 -4,-4$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1-16=-17 -2-8=-10 -4-4=-8$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -10 ergibt.

$$a=-8 b=-2$$

Schreiben Sie den faktorisierten Ausdruck "\left(y+a\right)\left(y+b\right)" mit den erhaltenen Werten um.

$$\left(y-8\right)\left(y-2\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie y-8=0 und y-2=0.

$$y=8 y=2$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als y^{2}+ay+by+16 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-10 ab=1\times 16=16$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, sind a und b beide negativ. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 16 ergeben.

$$-1,-16 -2,-8 -4,-4$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1-16=-17 -2-8=-10 -4-4=-8$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -10 ergibt.

$$a=-8 b=-2$$

y^{2}-10y+16 als \left(y^{2}-8y\right)+\left(-2y+16\right) umschreiben.

$$\left(y^{2}-8y\right)+\left(-2y+16\right)$$

Klammern Sie y in der ersten und -2 in der zweiten Gruppe aus.

$$y\left(y-8\right)-2\left(y-8\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term y-8 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(y-8\right)\left(y-2\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie y-8=0 und y-2=0.

$$y=8 y=2$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$y^{2}-10y+16=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 1, b durch -10 und c durch 16, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 16}}{2}$$

-10 zum Quadrat.

$$y=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 16}}{2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 16.

$$y=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-64}}{2}$$

Addieren Sie 100 zu -64.

$$y=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{36}}{2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 36.

$$y=\frac{-\left(-10\right)±6}{2}$$

Das Gegenteil von -10 ist 10.

$$y=\frac{10±6}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung y=\frac{10±6}{2}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 10 zu 6.

$$y=\frac{16}{2}$$

Dividieren Sie 16 durch 2.

$$y=8$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung y=\frac{10±6}{2}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 6 von 10.

$$y=\frac{4}{2}$$

Dividieren Sie 4 durch 2.

$$y=2$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$y=8 y=2$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$y^{2}-10y+16=0$$

16 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$y^{2}-10y+16-16=-16$$

Die Subtraktion von 16 von sich selbst ergibt 0.

$$y^{2}-10y=-16$$

Dividieren Sie -10, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -5 zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -5 zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$y^{2}-10y+\left(-5\right)^{2}=-16+\left(-5\right)^{2}$$

-5 zum Quadrat.

$$y^{2}-10y+25=-16+25$$

Addieren Sie -16 zu 25.

$$y^{2}-10y+25=9$$

Faktor y^{2}-10y+25. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(y-5\right)^{2}=9$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(y-5\right)^{2}}=\sqrt{9}$$

Vereinfachen.

$$y-5=3 y-5=-3$$

Addieren Sie 5 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$y=8 y=2$$