y^2+9y=-8 lösen

$$y ^ { 2 } + 9 y = - 8$$

Nach y auflösen

$$y=-8$$

$$y=-1$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung

Auf beiden Seiten 8 addieren.

$$y^{2}+9y+8=0$$

Um die Gleichung, den Faktor y^{2}+9y+8 mithilfe der Formel y^{2}+\left(a+b\right)y+ab=\left(y+a\right)\left(y+b\right) zu lösen. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=9 ab=8$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, sind a und b beide positiv. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 8 ergeben.

$$1,8 2,4$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1+8=9 2+4=6$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 9 ergibt.

$$a=1 b=8$$

Schreiben Sie den faktorisierten Ausdruck "\left(y+a\right)\left(y+b\right)" mit den erhaltenen Werten um.

$$\left(y+1\right)\left(y+8\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie y+1=0 und y+8=0.

$$y=-1 y=-8$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Auf beiden Seiten 8 addieren.

$$y^{2}+9y+8=0$$

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als y^{2}+ay+by+8 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=9 ab=1\times 8=8$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, sind a und b beide positiv. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 8 ergeben.

$$1,8 2,4$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1+8=9 2+4=6$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 9 ergibt.

$$a=1 b=8$$

y^{2}+9y+8 als \left(y^{2}+y\right)+\left(8y+8\right) umschreiben.

$$\left(y^{2}+y\right)+\left(8y+8\right)$$

Klammern Sie y in der ersten und 8 in der zweiten Gruppe aus.

$$y\left(y+1\right)+8\left(y+1\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term y+1 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(y+1\right)\left(y+8\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie y+1=0 und y+8=0.

$$y=-1 y=-8$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$y^{2}+9y=-8$$

Addieren Sie 8 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$y^{2}+9y-\left(-8\right)=-8-\left(-8\right)$$

Die Subtraktion von -8 von sich selbst ergibt 0.

$$y^{2}+9y-\left(-8\right)=0$$

Subtrahieren Sie -8 von 0.

$$y^{2}+9y+8=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 1, b durch 9 und c durch 8, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 8}}{2}$$

9 zum Quadrat.

$$y=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 8}}{2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 8.

$$y=\frac{-9±\sqrt{81-32}}{2}$$

Addieren Sie 81 zu -32.

$$y=\frac{-9±\sqrt{49}}{2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 49.

$$y=\frac{-9±7}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung y=\frac{-9±7}{2}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -9 zu 7.

$$y=-\frac{2}{2}$$

Dividieren Sie -2 durch 2.

$$y=-1$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung y=\frac{-9±7}{2}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 7 von -9.

$$y=-\frac{16}{2}$$

Dividieren Sie -16 durch 2.

$$y=-8$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$y=-1 y=-8$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$y^{2}+9y=-8$$

Dividieren Sie 9, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{9}{2} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{9}{2} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$y^{2}+9y+\left(\frac{9}{2}\right)^{2}=-8+\left(\frac{9}{2}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{9}{2}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$y^{2}+9y+\frac{81}{4}=-8+\frac{81}{4}$$

Addieren Sie -8 zu \frac{81}{4}.

$$y^{2}+9y+\frac{81}{4}=\frac{49}{4}$$

Faktor y^{2}+9y+\frac{81}{4}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(y+\frac{9}{2}\right)^{2}=\frac{49}{4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(y+\frac{9}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{4}}$$

Vereinfachen.

$$y+\frac{9}{2}=\frac{7}{2} y+\frac{9}{2}=-\frac{7}{2}$$

\frac{9}{2} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$y=-1 y=-8$$