x(x-6sqrt{2})+65=0 lösen

$$x(x-6 \sqrt{ 2 } )+65=0$$

Nach x auflösen (komplexe Lösung)

$$x=3\sqrt{2}+\sqrt{47}i\approx 4,242640687+6,8556546i$$

$$x=-\sqrt{47}i+3\sqrt{2}\approx 4,242640687-6,8556546i$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um x mit x-6\sqrt{2} zu multiplizieren.

$$x^{2}-6x\sqrt{2}+65=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$x^{2}+\left(-6\sqrt{2}\right)x+65=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 1, b durch -6\sqrt{2} und c durch 65, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-6\sqrt{2}\right)±\sqrt{\left(-6\sqrt{2}\right)^{2}-4\times 65}}{2}$$

-6\sqrt{2} zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-6\sqrt{2}\right)±\sqrt{72-4\times 65}}{2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 65.

$$x=\frac{-\left(-6\sqrt{2}\right)±\sqrt{72-260}}{2}$$

Addieren Sie 72 zu -260.

$$x=\frac{-\left(-6\sqrt{2}\right)±\sqrt{-188}}{2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus -188.

$$x=\frac{-\left(-6\sqrt{2}\right)±2\sqrt{47}i}{2}$$

Das Gegenteil von -6\sqrt{2} ist 6\sqrt{2}.

$$x=\frac{6\sqrt{2}±2\sqrt{47}i}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{6\sqrt{2}±2\sqrt{47}i}{2}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 6\sqrt{2} zu 2i\sqrt{47}.

$$x=\frac{6\sqrt{2}+2\sqrt{47}i}{2}$$

Dividieren Sie 6\sqrt{2}+2i\sqrt{47} durch 2.

$$x=3\sqrt{2}+\sqrt{47}i$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{6\sqrt{2}±2\sqrt{47}i}{2}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 2i\sqrt{47} von 6\sqrt{2}.

$$x=\frac{-2\sqrt{47}i+6\sqrt{2}}{2}$$

Dividieren Sie 6\sqrt{2}-2i\sqrt{47} durch 2.

$$x=-\sqrt{47}i+3\sqrt{2}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=3\sqrt{2}+\sqrt{47}i x=-\sqrt{47}i+3\sqrt{2}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um x mit x-6\sqrt{2} zu multiplizieren.

$$x^{2}-6x\sqrt{2}+65=0$$

Subtrahieren Sie 65 von beiden Seiten. Jede Subtraktion von null ergibt ihre Negation.

$$x^{2}-6x\sqrt{2}=-65$$

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$x^{2}+\left(-6\sqrt{2}\right)x=-65$$

Dividieren Sie -6\sqrt{2}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -3\sqrt{2} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -3\sqrt{2} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+\left(-6\sqrt{2}\right)x+\left(-3\sqrt{2}\right)^{2}=-65+\left(-3\sqrt{2}\right)^{2}$$

-3\sqrt{2} zum Quadrat.

$$x^{2}+\left(-6\sqrt{2}\right)x+18=-65+18$$

Addieren Sie -65 zu 18.

$$x^{2}+\left(-6\sqrt{2}\right)x+18=-47$$

Faktor x^{2}+\left(-6\sqrt{2}\right)x+18. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-3\sqrt{2}\right)^{2}=-47$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-3\sqrt{2}\right)^{2}}=\sqrt{-47}$$

Vereinfachen.

$$x-3\sqrt{2}=\sqrt{47}i x-3\sqrt{2}=-\sqrt{47}i$$

Addieren Sie 3\sqrt{2} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=3\sqrt{2}+\sqrt{47}i x=-\sqrt{47}i+3\sqrt{2}$$