x=-16x^2+81x+5 lösen

$$x=-16 { x }^{ 2 } +81x+5$$

Nach x auflösen

$$x=\frac{\sqrt{105}}{4}+\frac{5}{2}\approx 5,061737691$$

$$x=-\frac{\sqrt{105}}{4}+\frac{5}{2}\approx -0,061737691$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Auf beiden Seiten 16x^{2} addieren.

$$x+16x^{2}=81x+5$$

Subtrahieren Sie 81x von beiden Seiten.

$$x+16x^{2}-81x=5$$

Kombinieren Sie x und -81x, um -80x zu erhalten.

$$-80x+16x^{2}=5$$

Subtrahieren Sie 5 von beiden Seiten.

$$-80x+16x^{2}-5=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$16x^{2}-80x-5=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 16, b durch -80 und c durch -5, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-80\right)±\sqrt{\left(-80\right)^{2}-4\times 16\left(-5\right)}}{2\times 16}$$

-80 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-80\right)±\sqrt{6400-4\times 16\left(-5\right)}}{2\times 16}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 16.

$$x=\frac{-\left(-80\right)±\sqrt{6400-64\left(-5\right)}}{2\times 16}$$

Multiplizieren Sie -64 mit -5.

$$x=\frac{-\left(-80\right)±\sqrt{6400+320}}{2\times 16}$$

Addieren Sie 6400 zu 320.

$$x=\frac{-\left(-80\right)±\sqrt{6720}}{2\times 16}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 6720.

$$x=\frac{-\left(-80\right)±8\sqrt{105}}{2\times 16}$$

Das Gegenteil von -80 ist 80.

$$x=\frac{80±8\sqrt{105}}{2\times 16}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 16.

$$x=\frac{80±8\sqrt{105}}{32}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{80±8\sqrt{105}}{32}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 80 zu 8\sqrt{105}.

$$x=\frac{8\sqrt{105}+80}{32}$$

Dividieren Sie 80+8\sqrt{105} durch 32.

$$x=\frac{\sqrt{105}}{4}+\frac{5}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{80±8\sqrt{105}}{32}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 8\sqrt{105} von 80.

$$x=\frac{80-8\sqrt{105}}{32}$$

Dividieren Sie 80-8\sqrt{105} durch 32.

$$x=-\frac{\sqrt{105}}{4}+\frac{5}{2}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{\sqrt{105}}{4}+\frac{5}{2} x=-\frac{\sqrt{105}}{4}+\frac{5}{2}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Auf beiden Seiten 16x^{2} addieren.

$$x+16x^{2}=81x+5$$

Subtrahieren Sie 81x von beiden Seiten.

$$x+16x^{2}-81x=5$$

Kombinieren Sie x und -81x, um -80x zu erhalten.

$$-80x+16x^{2}=5$$

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$16x^{2}-80x=5$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 16.

$$\frac{16x^{2}-80x}{16}=\frac{5}{16}$$

Division durch 16 macht die Multiplikation mit 16 rückgängig.

$$x^{2}+\left(-\frac{80}{16}\right)x=\frac{5}{16}$$

Dividieren Sie -80 durch 16.

$$x^{2}-5x=\frac{5}{16}$$

Dividieren Sie -5, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{5}{2} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{5}{2} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-5x+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{5}{16}+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{5}{2}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=\frac{5}{16}+\frac{25}{4}$$

Addieren Sie \frac{5}{16} zu \frac{25}{4}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=\frac{105}{16}$$

Faktor x^{2}-5x+\frac{25}{4}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{105}{16}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{105}{16}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{5}{2}=\frac{\sqrt{105}}{4} x-\frac{5}{2}=-\frac{\sqrt{105}}{4}$$

Addieren Sie \frac{5}{2} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\frac{\sqrt{105}}{4}+\frac{5}{2} x=-\frac{\sqrt{105}}{4}+\frac{5}{2}$$