x-x^2=5 lösen

$$x - x ^ { 2 } = 5$$

Nach x auflösen (komplexe Lösung)

$$x=\frac{-\sqrt{19}i+1}{2}\approx 0,5-2,179449472i$$

$$x=\frac{1+\sqrt{19}i}{2}\approx 0,5+2,179449472i$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$-x^{2}+x=5$$

5 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$-x^{2}+x-5=5-5$$

Die Subtraktion von 5 von sich selbst ergibt 0.

$$-x^{2}+x-5=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch -1, b durch 1 und c durch -5, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-1\right)\left(-5\right)}}{2\left(-1\right)}$$

1 zum Quadrat.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-1\right)\left(-5\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+4\left(-5\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplizieren Sie 4 mit -5.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-20}}{2\left(-1\right)}$$

Addieren Sie 1 zu -20.

$$x=\frac{-1±\sqrt{-19}}{2\left(-1\right)}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus -19.

$$x=\frac{-1±\sqrt{19}i}{2\left(-1\right)}$$

Multiplizieren Sie 2 mit -1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{19}i}{-2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-1±\sqrt{19}i}{-2}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -1 zu i\sqrt{19}.

$$x=\frac{-1+\sqrt{19}i}{-2}$$

Dividieren Sie -1+i\sqrt{19} durch -2.

$$x=\frac{-\sqrt{19}i+1}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-1±\sqrt{19}i}{-2}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie i\sqrt{19} von -1.

$$x=\frac{-\sqrt{19}i-1}{-2}$$

Dividieren Sie -1-i\sqrt{19} durch -2.

$$x=\frac{1+\sqrt{19}i}{2}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{-\sqrt{19}i+1}{2} x=\frac{1+\sqrt{19}i}{2}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$-x^{2}+x=5$$

Dividieren Sie beide Seiten durch -1.

$$\frac{-x^{2}+x}{-1}=\frac{5}{-1}$$

Division durch -1 macht die Multiplikation mit -1 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{1}{-1}x=\frac{5}{-1}$$

Dividieren Sie 1 durch -1.

$$x^{2}-x=\frac{5}{-1}$$

Dividieren Sie 5 durch -1.

$$x^{2}-x=-5$$

Dividieren Sie -1, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{1}{2} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{1}{2} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=-5+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{1}{2}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=-5+\frac{1}{4}$$

Addieren Sie -5 zu \frac{1}{4}.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=-\frac{19}{4}$$

Faktor x^{2}-x+\frac{1}{4}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{19}{4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{19}{4}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{19}i}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{19}i}{2}$$

Addieren Sie \frac{1}{2} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\frac{1+\sqrt{19}i}{2} x=\frac{-\sqrt{19}i+1}{2}$$