x^4+6x^3-5x^2-42x+40 lösen

$$x ^ { 4 } + 6 x ^ { 3 } - 5 x ^ { 2 } - 42 x + 40$$

Faktorisieren

$$\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+4\right)\left(x+5\right)$$

Lösungsschritte

Laut dem Satz über rationale Nullstellen (Rational Root Theorem) haben alle rationalen Nullstellen eines Polynoms die Form \frac{p}{q}, wobei der konstante Ausdruck 40 durch p dividiert wird und der Leitkoeffizient 1 durch q. Eine solche Wurzel ist -5. Faktorisieren Sie das Polynom, indem Sie es durch x+5 teilen.

$$\left(x+5\right)\left(x^{3}+x^{2}-10x+8\right)$$

Betrachten Sie x^{3}+x^{2}-10x+8. Laut dem Satz über rationale Nullstellen (Rational Root Theorem) haben alle rationalen Nullstellen eines Polynoms die Form \frac{p}{q}, wobei der konstante Ausdruck 8 durch p dividiert wird und der Leitkoeffizient 1 durch q. Eine solche Wurzel ist -4. Faktorisieren Sie das Polynom, indem Sie es durch x+4 teilen.

$$\left(x+4\right)\left(x^{2}-3x+2\right)$$

Betrachten Sie x^{2}-3x+2. Faktorisieren Sie den Ausdruck durch Gruppieren. Zuerst muss der Ausdruck als x^{2}+ax+bx+2 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-3 ab=1\times 2=2$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, sind a und b beide negativ. Das einzige derartige Paar ist die Lösung des Systems.

$$a=-2 b=-1$$

x^{2}-3x+2 als \left(x^{2}-2x\right)+\left(-x+2\right) umschreiben.

$$\left(x^{2}-2x\right)+\left(-x+2\right)$$

Klammern Sie x in der ersten und -1 in der zweiten Gruppe aus.

$$x\left(x-2\right)-\left(x-2\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x-2 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x-2\right)\left(x-1\right)$$

Schreiben Sie den vollständigen, faktorisierten Ausdruck um.

$$\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+4\right)\left(x+5\right)$$

Auswerten

$$\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+4\right)\left(x+5\right)$$