x^3-x^2-22x+40 lösen

$$x ^ { 3 } - x ^ { 2 } - 22 x + 40$$

Faktorisieren

$$\left(x-4\right)\left(x-2\right)\left(x+5\right)$$

Lösungsschritte

Laut dem Satz über rationale Nullstellen (Rational Root Theorem) haben alle rationalen Nullstellen eines Polynoms die Form \frac{p}{q}, wobei der konstante Ausdruck 40 durch p dividiert wird und der Leitkoeffizient 1 durch q. Eine solche Wurzel ist -5. Faktorisieren Sie das Polynom, indem Sie es durch x+5 teilen.

$$\left(x+5\right)\left(x^{2}-6x+8\right)$$

Betrachten Sie x^{2}-6x+8. Faktorisieren Sie den Ausdruck durch Gruppieren. Zuerst muss der Ausdruck als x^{2}+ax+bx+8 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-6 ab=1\times 8=8$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, sind a und b beide negativ. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 8 ergeben.

$$-1,-8 -2,-4$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1-8=-9 -2-4=-6$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -6 ergibt.

$$a=-4 b=-2$$

x^{2}-6x+8 als \left(x^{2}-4x\right)+\left(-2x+8\right) umschreiben.

$$\left(x^{2}-4x\right)+\left(-2x+8\right)$$

Klammern Sie x in der ersten und -2 in der zweiten Gruppe aus.

$$x\left(x-4\right)-2\left(x-4\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x-4 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x-4\right)\left(x-2\right)$$

Schreiben Sie den vollständigen, faktorisierten Ausdruck um.

$$\left(x-4\right)\left(x-2\right)\left(x+5\right)$$

Auswerten

$$\left(x-4\right)\left(x-2\right)\left(x+5\right)$$