x^2-x-6=8 lösen

$$x ^ { 2 } - x - 6 = 8$$

Nach x auflösen

$$x = \frac{\sqrt{57} + 1}{2} \approx 4,274917218$$

$$x=\frac{1-\sqrt{57}}{2}\approx -3,274917218$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$x^{2}-x-6=8$$

8 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x^{2}-x-6-8=8-8$$

Die Subtraktion von 8 von sich selbst ergibt 0.

$$x^{2}-x-6-8=0$$

Subtrahieren Sie 8 von -6.

$$x^{2}-x-14=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 1, b durch -1 und c durch -14, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\left(-14\right)}}{2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -14.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+56}}{2}$$

Addieren Sie 1 zu 56.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{57}}{2}$$

Das Gegenteil von -1 ist 1.

$$x=\frac{1±\sqrt{57}}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{1±\sqrt{57}}{2}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 1 zu \sqrt{57}.

$$x=\frac{\sqrt{57}+1}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{1±\sqrt{57}}{2}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie \sqrt{57} von 1.

$$x=\frac{1-\sqrt{57}}{2}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{\sqrt{57}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{57}}{2}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$x^{2}-x-6=8$$

Addieren Sie 6 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x^{2}-x-6-\left(-6\right)=8-\left(-6\right)$$

Die Subtraktion von -6 von sich selbst ergibt 0.

$$x^{2}-x=8-\left(-6\right)$$

Subtrahieren Sie -6 von 8.

$$x^{2}-x=14$$

Dividieren Sie -1, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{1}{2} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{1}{2} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=14+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{1}{2}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=14+\frac{1}{4}$$

Addieren Sie 14 zu \frac{1}{4}.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{57}{4}$$

Faktor x^{2}-x+\frac{1}{4}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{57}{4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{57}{4}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{57}}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{57}}{2}$$

Addieren Sie \frac{1}{2} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\frac{\sqrt{57}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{57}}{2}$$