x^2-x+3=0 lösen

$$x ^ { 2 } - x + 3 = 0$$

Nach x auflösen (komplexe Lösung)

$$x=\frac{1+\sqrt{11}i}{2}\approx 0,5+1,658312395i$$

$$x=\frac{-\sqrt{11}i+1}{2}\approx 0,5-1,658312395i$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$x^{2}-x+3=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 1, b durch -1 und c durch 3, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 3}}{2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 3.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-12}}{2}$$

Addieren Sie 1 zu -12.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{-11}}{2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus -11.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{11}i}{2}$$

Das Gegenteil von -1 ist 1.

$$x=\frac{1±\sqrt{11}i}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{1±\sqrt{11}i}{2}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 1 zu i\sqrt{11}.

$$x=\frac{1+\sqrt{11}i}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{1±\sqrt{11}i}{2}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie i\sqrt{11} von 1.

$$x=\frac{-\sqrt{11}i+1}{2}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{1+\sqrt{11}i}{2} x=\frac{-\sqrt{11}i+1}{2}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$x^{2}-x+3=0$$

3 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x^{2}-x+3-3=-3$$

Die Subtraktion von 3 von sich selbst ergibt 0.

$$x^{2}-x=-3$$

Dividieren Sie -1, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{1}{2} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{1}{2} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=-3+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{1}{2}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=-3+\frac{1}{4}$$

Addieren Sie -3 zu \frac{1}{4}.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=-\frac{11}{4}$$

Faktor x^{2}-x+\frac{1}{4}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{11}{4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{11}{4}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{11}i}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{11}i}{2}$$

Addieren Sie \frac{1}{2} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\frac{1+\sqrt{11}i}{2} x=\frac{-\sqrt{11}i+1}{2}$$