x^2-7x-30=0 lösen

$$x ^ { 2 } - 7 x - 30 = 0$$

Nach x auflösen

$$x=-3$$

$$x=10$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung

Um die Gleichung, den Faktor x^{2}-7x-30 mithilfe der Formel x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right) zu lösen. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-7 ab=-30$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, hat die negative Zahl einen größeren Absolutwert als die positive. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -30 ergeben.

$$1,-30 2,-15 3,-10 5,-6$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1-30=-29 2-15=-13 3-10=-7 5-6=-1$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -7 ergibt.

$$a=-10 b=3$$

Schreiben Sie den faktorisierten Ausdruck "\left(x+a\right)\left(x+b\right)" mit den erhaltenen Werten um.

$$\left(x-10\right)\left(x+3\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x-10=0 und x+3=0.

$$x=10 x=-3$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als x^{2}+ax+bx-30 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-7 ab=1\left(-30\right)=-30$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, hat die negative Zahl einen größeren Absolutwert als die positive. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -30 ergeben.

$$1,-30 2,-15 3,-10 5,-6$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1-30=-29 2-15=-13 3-10=-7 5-6=-1$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -7 ergibt.

$$a=-10 b=3$$

x^{2}-7x-30 als \left(x^{2}-10x\right)+\left(3x-30\right) umschreiben.

$$\left(x^{2}-10x\right)+\left(3x-30\right)$$

Klammern Sie x in der ersten und 3 in der zweiten Gruppe aus.

$$x\left(x-10\right)+3\left(x-10\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x-10 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x-10\right)\left(x+3\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x-10=0 und x+3=0.

$$x=10 x=-3$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$x^{2}-7x-30=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 1, b durch -7 und c durch -30, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\left(-30\right)}}{2}$$

-7 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\left(-30\right)}}{2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -30.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+120}}{2}$$

Addieren Sie 49 zu 120.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{169}}{2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 169.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±13}{2}$$

Das Gegenteil von -7 ist 7.

$$x=\frac{7±13}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{7±13}{2}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 7 zu 13.

$$x=\frac{20}{2}$$

Dividieren Sie 20 durch 2.

$$x=10$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{7±13}{2}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 13 von 7.

$$x=-\frac{6}{2}$$

Dividieren Sie -6 durch 2.

$$x=-3$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=10 x=-3$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$x^{2}-7x-30=0$$

Addieren Sie 30 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x^{2}-7x-30-\left(-30\right)=-\left(-30\right)$$

Die Subtraktion von -30 von sich selbst ergibt 0.

$$x^{2}-7x=-\left(-30\right)$$

Subtrahieren Sie -30 von 0.

$$x^{2}-7x=30$$

Dividieren Sie -7, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{7}{2} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{7}{2} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-7x+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}=30+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{7}{2}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-7x+\frac{49}{4}=30+\frac{49}{4}$$

Addieren Sie 30 zu \frac{49}{4}.

$$x^{2}-7x+\frac{49}{4}=\frac{169}{4}$$

Faktor x^{2}-7x+\frac{49}{4}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}=\frac{169}{4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{4}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{7}{2}=\frac{13}{2} x-\frac{7}{2}=-\frac{13}{2}$$

Addieren Sie \frac{7}{2} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=10 x=-3$$